Как найти предел последовательности, n-й член которой (∀n≥3) равен полусумме двух предыдущих?
Числовая последовательность {c_n} задана следующим образом: c_1=a, c_2=b, c_n=(c_(n-1)+c_(n-2))/2 при n≥3. Требуется найти её предел.
Идея решения заключается в следующем. Преобразуя рекуррентное соотношение, приходим к равенству, связывающему разности последующих членов последовательности и предыдущих. Вводим в рассмотрение новую числовую последовательность, общий член который равен c_n − c_(n-1). В результате получаем для новой последовательности рекуррентное соотношение, гораздо более простое, чем то, которое фигурирует в условии задачи. Без труда получаем формулу общего члена новой последовательности.
Возвращаемся к исходной последовательности и выражаем её общий член через сумму первого члена и суммы членов новой последовательности с номерами от 2 до n. Последняя сумма представляет собой сумму членов геометрической погрешности и легко выражается через n.
В итоге получаем формулу общего члена исходной погрешности, что позволяет достаточно легко найти её предел.
Видео Как найти предел последовательности, n-й член которой (∀n≥3) равен полусумме двух предыдущих? канала Математический Мирок
Идея решения заключается в следующем. Преобразуя рекуррентное соотношение, приходим к равенству, связывающему разности последующих членов последовательности и предыдущих. Вводим в рассмотрение новую числовую последовательность, общий член который равен c_n − c_(n-1). В результате получаем для новой последовательности рекуррентное соотношение, гораздо более простое, чем то, которое фигурирует в условии задачи. Без труда получаем формулу общего члена новой последовательности.
Возвращаемся к исходной последовательности и выражаем её общий член через сумму первого члена и суммы членов новой последовательности с номерами от 2 до n. Последняя сумма представляет собой сумму членов геометрической погрешности и легко выражается через n.
В итоге получаем формулу общего члена исходной погрешности, что позволяет достаточно легко найти её предел.
Видео Как найти предел последовательности, n-й член которой (∀n≥3) равен полусумме двух предыдущих? канала Математический Мирок
Показать
Комментарии отсутствуют
Информация о видео
Другие видео канала
Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Задача о двух касающихся окружностях, вписанных в угол
Задача на нахождение предела определённого интеграла, зависящего от параметра
Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?
Задача о ящиках с апельсинами и яблоками, у которых поменяли таблички с названиями фруктов
Классная задача о пространственном четырёхугольнике, описанном около сферы
Математический анализ, 1 урок, Предел числовой последовательности
Предел последовательности. Тема
Предел функции 1
Предел последовательности
Как доказать, что пределы n^(1/n) и a^(1/n), где a больше 0, равны 1?
Задача на нахождение математических ожиданий площади и периметра треугольника
Как доказать, что среди любых n натуральных чисел найдутся числа, сумма которых делится на n?
Как доказать, что предел отношения a^n/n^α, где a больше 1, а α больше 0, равен +∞?
Как доказать свойства параллелограмма с использованием методов векторной алгебры?
Как доказать, что из 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) следует, что 1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a+b+c)^n, где n=2k+1?
Задача об окружности, описанной около четырёхугольника
В какое время должна выстрелить пушка, чтобы жители города в среднем услышали выстрел в полдень?
Задача о чёрных и белых шарах в корзине на формулу полной вероятности и формулу Байеса
Доказать, что сумма расстояний от внутренней точки правильного треугольника до его сторон постоянна