Как доказать, что из 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) следует, что 1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a+b+c)^n, где n=2k+1?

Для вещественных чисел a, b, c выполняется соотношение: 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c). Доказать, что для любого нечётного n выполняется равенство 1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a+b+c)^n.
Задача, возможно, когда-то давно предлагалась на вступительном экзамене в МГУ на мехмат.
Исходное соотношение можно рассматривать как уравнение с тремя неизвестными. Можно решить это уравнение, выполнив замену неизвестных. В результате приходим к выводу о том, что данное соотношение выполняется для любых трёх ненулевых вещественных чисел, среди которых имеются два противоположных. Из этого вывода непосредственно следует доказываемое положение.
Задача взята из видеоролика: https://www.youtube.com/watch?v=IFpqK_x44_c

Видео Как доказать, что из 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) следует, что 1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a+b+c)^n, где n=2k+1? канала Математический Мирок