Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?
Докажем теорему о медианах треугольника: медианы треугольника пересекаются в одной точке и делятся точкой пересечения в отношении 2 : 1, если считать от вершин треугольника.
Очевидно, достаточно доказать, что любые две медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, если считать от вершин треугольника. Из этого уже будет следовать, что медианы пересекаются в одной точке. Примем одну сторону треугольника за основание и проведём две медианы к боковым сторонам. Докажем, что эти медианы точкой пересечения делятся в упомянутом выше соотношении.
Для доказательства будем использовать методы векторной алгебры. Идея доказательства заключается в следующем. Утверждения о соотношении длин различных параллельных отрезков эквивалентно утверждению об аналогичном соотношении модулей векторов, построенных на этих отрезках. В силу колленеарности векторов, построенных на параллельных отрезках, выражаем одни векторы через другие, умножая их на неопределённые пока что коэффициенты. Задача сводится к нахождению этих коэффициентов.
Далее строим векторы на двух смежных сторонах треугольника, исходящих из вершины, противолежащей основанию, и выражаем все векторы, участвующие в задаче, через эти два вектора. Из треугольника, образованного основанием исходного треугольника и медианами, получаем связь между тремя векторами.
Эта связь может быть выражена через векторное равенство, в левой части которого располагается линейная комбинация двух векторов, построенных на смежных сторонах треугольника с коэффициентами, выражающимися через неопределённые коэффициенты, а в правой части — нулевой вектор.
В силу неколлинеарности, а, значит, линейной независимости векторов, фигурирующих в левой части, данное равенство может быть справедливо тогда и только тогда, когда коэффициенты перед этими векторами — нулевые. Приравниваем их нулю и решаем полученную систему линейных алгебраических уравнений, находя, тем самым, искомые неопределённые коэффициенты.
Предыдущий видеоролик (доказательство свойств параллелограмма): https://www.youtube.com/watch?v=RLJ7jwxCQd4
Видео Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры? канала Математический Мирок
Очевидно, достаточно доказать, что любые две медианы точкой пересечения делятся в отношении 2 : 1, если считать от вершин треугольника. Из этого уже будет следовать, что медианы пересекаются в одной точке. Примем одну сторону треугольника за основание и проведём две медианы к боковым сторонам. Докажем, что эти медианы точкой пересечения делятся в упомянутом выше соотношении.
Для доказательства будем использовать методы векторной алгебры. Идея доказательства заключается в следующем. Утверждения о соотношении длин различных параллельных отрезков эквивалентно утверждению об аналогичном соотношении модулей векторов, построенных на этих отрезках. В силу колленеарности векторов, построенных на параллельных отрезках, выражаем одни векторы через другие, умножая их на неопределённые пока что коэффициенты. Задача сводится к нахождению этих коэффициентов.
Далее строим векторы на двух смежных сторонах треугольника, исходящих из вершины, противолежащей основанию, и выражаем все векторы, участвующие в задаче, через эти два вектора. Из треугольника, образованного основанием исходного треугольника и медианами, получаем связь между тремя векторами.
Эта связь может быть выражена через векторное равенство, в левой части которого располагается линейная комбинация двух векторов, построенных на смежных сторонах треугольника с коэффициентами, выражающимися через неопределённые коэффициенты, а в правой части — нулевой вектор.
В силу неколлинеарности, а, значит, линейной независимости векторов, фигурирующих в левой части, данное равенство может быть справедливо тогда и только тогда, когда коэффициенты перед этими векторами — нулевые. Приравниваем их нулю и решаем полученную систему линейных алгебраических уравнений, находя, тем самым, искомые неопределённые коэффициенты.
Предыдущий видеоролик (доказательство свойств параллелограмма): https://www.youtube.com/watch?v=RLJ7jwxCQd4
Видео Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры? канала Математический Мирок
Показать
Комментарии отсутствуют
Информация о видео
Другие видео канала
Задача на нахождение математических ожиданий площади и периметра треугольника
Как доказать, что пределы n^(1/n) и a^(1/n), где a больше 0, равны 1?
Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Классная задача о пространственном четырёхугольнике, описанном около сферы
Задача о двух касающихся окружностях, вписанных в угол
Задача на нахождение предела определённого интеграла, зависящего от параметра
Задача о ящиках с апельсинами и яблоками, у которых поменяли таблички с названиями фруктов
Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?
Как доказать, что среди любых n натуральных чисел найдутся числа, сумма которых делится на n?
Олимпиадная задача о рыцарях и лжецах, сидящих за круглым столом
Как доказать свойства параллелограмма с использованием методов векторной алгебры?
Как доказать, что из 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) следует, что 1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a+b+c)^n, где n=2k+1?
Как найти предел последовательности, n-й член которой (∀n≥3) равен полусумме двух предыдущих?
Задача об окружности, описанной около четырёхугольника
Доказать, что сумма расстояний от внутренней точки правильного треугольника до его сторон постоянна
Задача о последовательности, заданной рекуррентно
Как доказать, что предел отношения a^n/n^α, где a больше 1, а α больше 0, равен +∞?
В какое время должна выстрелить пушка, чтобы жители города в среднем услышали выстрел в полдень?
Задача о чёрных и белых шарах в корзине на формулу полной вероятности и формулу Байеса