Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке?

Доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке.
Нужно иметь в виду, что данная формулировка задачи справедлива только для остроугольного треугольника. Если треугольник — прямоугольный, то его высоты имеют общий конец, совпадающий с вершиной при прямом угле. А если треугольник — тупоугольный, то в одной точке пересекаются не его высоты, а их продолжения. Как учесть все три возможных случая в одной единственной формулировке?
Это можно сделать, если перейти от рассмотрения треугольника к рассмотрению прямых, содержащих его стороны. Тогда все три случая можно объединить в одной формулировке задачи, в которой будут фигурировать уже прямые. Формулировка следующая.
Имеются три попарно пересекающиеся прямые. Через точку пересечения каждых двух прямых проведена прямая, перпендикулярная третьей прямой. Доказать, что все три построенные прямые пересекаются в одной точке.
Именно в такой формулировке и рассматривается задача в данном видеоролике.
Для решения используются методы аналитической геометрии на плоскости.
Проводим прямые, содержащие стороны заданного треугольника. В качестве основания треугольника выбираем ту его сторону, к которой прилегают острые углы. Вводим декартову прямоугольную систему координат Oxy на плоскости таким образом, чтобы основание треугольника лежало на оси абсцисс, а вершина, противолежащая основанию — на оси ординат и, при этом, имела, для определённости, положительную ординату.
Далее проводим через каждую вершину треугольника прямую, перпендикулярную прямой, содержащей сторону, противолежащую данной вершине. Нам нужно доказать, что эти три построенные прямые пересекаются в одной точке. Для этого достаточно доказать, что та из этих прямых, которая имеет уравнение x=0, содержит точку пересечения двух других прямых.
Находим уравнения двух остальных прямых и находим их точку пересечения. Выясняется, что она имеет абсциссу, равную 0. Таким образом, утверждение доказано.

Видео Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке? канала Математический Мирок