Как доказать, что определённый интеграл от функции sqrt(sin(πx)) на промежутке [0,1] меньше 0,8?
Без помощи калькулятора доказать, что что определённый интеграл от функции sqrt(sin(πx)) на промежутке [0,1] меньше 0,8.
Для решения задачи выполним замену переменной t=πx, после чего перейдём от исходного интеграла к удвоенному интегралу по половине промежутка интегрирования (это позволяет сделать симметричность графика подынтегральной функции sqrt(sin(t)) относительно прямой t=π/2).
Далее аппроксимируем функцию sin(t) функцией f(t), график которой представляет собой двухзвенную ломанную, состоящую из отрезков касательных к графику функции y=sin(t) в точках координатами (0,0) и (1,π/2). Из легко доказываемого неравенства sin(t)≤f(t), выполняющегося на промежутке [0,π/2], следует и справедливость равенства sqrt(sin(t))≤sqrt(f(t)), выполняющегося на том же промежутке.
Переходим от неравенства функций к неравенству определённых интегралов от них на промежутке [0,π/2]. Для решения задачи остаётся лишь вычислить определённый интеграл от функции sqrt(f(t)) и оценить его сверху.
Видео Как доказать, что определённый интеграл от функции sqrt(sin(πx)) на промежутке [0,1] меньше 0,8? канала Математический Мирок
Для решения задачи выполним замену переменной t=πx, после чего перейдём от исходного интеграла к удвоенному интегралу по половине промежутка интегрирования (это позволяет сделать симметричность графика подынтегральной функции sqrt(sin(t)) относительно прямой t=π/2).
Далее аппроксимируем функцию sin(t) функцией f(t), график которой представляет собой двухзвенную ломанную, состоящую из отрезков касательных к графику функции y=sin(t) в точках координатами (0,0) и (1,π/2). Из легко доказываемого неравенства sin(t)≤f(t), выполняющегося на промежутке [0,π/2], следует и справедливость равенства sqrt(sin(t))≤sqrt(f(t)), выполняющегося на том же промежутке.
Переходим от неравенства функций к неравенству определённых интегралов от них на промежутке [0,π/2]. Для решения задачи остаётся лишь вычислить определённый интеграл от функции sqrt(f(t)) и оценить его сверху.
Видео Как доказать, что определённый интеграл от функции sqrt(sin(πx)) на промежутке [0,1] меньше 0,8? канала Математический Мирок
Показать
Комментарии отсутствуют
Информация о видео
Другие видео канала
Как доказать существование чисел, делящихся на 5^1000 и не содержащих в своей записи ни одного нуля?![Как найти определённый интеграл от функции sec(θ)^2/2e^(sec(θ)^2) по dθ на промежутке [0,π/2]?](https://i.ytimg.com/vi/AvYpbetKFHc/default.jpg)
Как найти определённый интеграл от функции sec(θ)^2/2e^(sec(θ)^2) по dθ на промежутке [0,π/2]?
При каком наименьшем натуральном n число 3^n оканчивается на 0001?
Можно ли найти такую натуральную степень числа 3, которая оканчивается на 0001?
Как найти сумму повторного числового ряда с общим членом 1/m/(n+1)^(2m)?
Задача о трёх смеющихся дамах с испачканными лицами. Прекрасные дамы и железная логика совместимы?
Задача о нахождении cредней зарплаты трёх работников, подписавших соглашения о неразглашении зарплат
Как найти сумму числового ряда с общим членом 1/(n∙sqrt(n+1)+(n+1)∙sqrt(n))?
Как решить уравнение (z−4,5)^4+(z−5,5)^4=1 в комплексных числах?
Как разложить на множители многочлен x^8+x^7+1?
Как найти значение выражения 88…89^2−11…12^2 (в первом числе n восьмёрок, во втором — n единиц)?
Как найти предел числовой последовательности с общим членом ((n+1)(n+2)...(2n))^(1/n)/n?
Задача о нахождении суммы числового ряда, общий член которого связан с последовательностью функций
Как решить алгебраическое уравнение 4-й степени x^4+4x^3+x^2−6x+2=0?
Интересная геометрическая задача на доказательство неравенства![Как найти определённый интеграл от функции 1/(1+arcsin(x)+sqrt(1+(arcsin(x))^2)) на отрезке [−1,1]?](https://i.ytimg.com/vi/XIJ7tiYo-j4/default.jpg)
Как найти определённый интеграл от функции 1/(1+arcsin(x)+sqrt(1+(arcsin(x))^2)) на отрезке [−1,1]?
Задача на восстановление числовой последовательности по заданным 10 первым членам
Как решить уравнение x^3+1=2cbrt(2x−1)?
Как решить дифференциальное уравнение y''e^(−2x)−y'e^(−2x)+16y=0?
Как найти значение производной n-го порядка в нуле функции y(x)=sqrt(1+sqrt(1+x))?