При каком наименьшем натуральном n число 3^n оканчивается на 0001?
При каком наименьшем натуральном n число 3^n оканчивается на 0001?
Из предыдущего видеоролика мы уже знаем, что число 3^4000 оканчивается на 0001. Но является ли число 4000 наименьшим натуральным показателем степени числа 3, приводящим к такому результату?
Отметим, что только степени числа 3 с показателями степени, кратными четырём, оканчиваются на 1. Это означает, что задачу разумно решать для степеней числа 81 (т. е. 3^4), а после получения ответа перейти к основанию 3.
Можно доказать, что если r — такое наименьшее натуральное число, что 81^r оканчивается на 0001, то для того, чтобы на 0001 оканчивалось число 81^p (p — натуральное), необходимо и достаточно, чтобы p делилось на r.
Можно с помощью формулы бинома Ньютона показать, что число 81^125 оканчивается на 0001. Тогда, в соответствии с приведённым выше утверждением, число r следует искать среди делителей числа 125.
После нахождения r остаётся лишь найти n по формуле n=4k.
Ссылка на предыдущий видеоролик: https://www.youtube.com/watch?v=p8Xx1mr-bSM
Видео При каком наименьшем натуральном n число 3^n оканчивается на 0001? канала Математический Мирок
Из предыдущего видеоролика мы уже знаем, что число 3^4000 оканчивается на 0001. Но является ли число 4000 наименьшим натуральным показателем степени числа 3, приводящим к такому результату?
Отметим, что только степени числа 3 с показателями степени, кратными четырём, оканчиваются на 1. Это означает, что задачу разумно решать для степеней числа 81 (т. е. 3^4), а после получения ответа перейти к основанию 3.
Можно доказать, что если r — такое наименьшее натуральное число, что 81^r оканчивается на 0001, то для того, чтобы на 0001 оканчивалось число 81^p (p — натуральное), необходимо и достаточно, чтобы p делилось на r.
Можно с помощью формулы бинома Ньютона показать, что число 81^125 оканчивается на 0001. Тогда, в соответствии с приведённым выше утверждением, число r следует искать среди делителей числа 125.
После нахождения r остаётся лишь найти n по формуле n=4k.
Ссылка на предыдущий видеоролик: https://www.youtube.com/watch?v=p8Xx1mr-bSM
Видео При каком наименьшем натуральном n число 3^n оканчивается на 0001? канала Математический Мирок
Показать
Комментарии отсутствуют
Информация о видео
Другие видео канала
Как доказать существование чисел, делящихся на 5^1000 и не содержащих в своей записи ни одного нуля?
Как доказать существование стозначного числа, делящегося на 2^100, состоящего только из 2 и 1?
Задача о трёх смеющихся дамах с испачканными лицами. Прекрасные дамы и железная логика совместимы?
Задача о нахождении cредней зарплаты трёх работников, подписавших соглашения о неразглашении зарплат
Как найти сумму числового ряда с общим членом 1/(n∙sqrt(n+1)+(n+1)∙sqrt(n))?
Как решить уравнение (z−4,5)^4+(z−5,5)^4=1 в комплексных числах?
Как разложить на множители многочлен x^8+x^7+1?
Как найти значение выражения 88…89^2−11…12^2 (в первом числе n восьмёрок, во втором — n единиц)?
Как найти предел числовой последовательности с общим членом ((n+1)(n+2)...(2n))^(1/n)/n?
Задача о нахождении суммы числового ряда, общий член которого связан с последовательностью функций
Как решить алгебраическое уравнение 4-й степени x^4+4x^3+x^2−6x+2=0?
Интересная геометрическая задача на доказательство неравенства![Как найти определённый интеграл от функции 1/(1+arcsin(x)+sqrt(1+(arcsin(x))^2)) на отрезке [−1,1]?](https://i.ytimg.com/vi/XIJ7tiYo-j4/default.jpg)
Как найти определённый интеграл от функции 1/(1+arcsin(x)+sqrt(1+(arcsin(x))^2)) на отрезке [−1,1]?
Задача на восстановление числовой последовательности по заданным 10 первым членам
Как решить уравнение x^3+1=2cbrt(2x−1)?
Как решить дифференциальное уравнение y''e^(−2x)−y'e^(−2x)+16y=0?
Как найти значение производной n-го порядка в нуле функции y(x)=sqrt(1+sqrt(1+x))?
Как найти сумму комплексных квадратных корней из i и −i?
Как доказать, что a∙cbrt(b)+c∙cbrt(b^2) ∉ ℤ, если известно, что a, b, c ∈ ℤ, cbrt(b) ∉ ℤ, |a|+|b|≠0?
Как найти двойной интеграл от функции |ln(x)−ln(y)|∙exp(−(x+y)) по области {(x, y): x≥0, y≥0}?