Классная задача о пространственном четырёхугольнике, описанном около сферы
Около сферы описан пространственный четырёхугольник. Доказать, что точки касания лежат в одной плоскости.
Эта задача взята из сборника статей академика Андрея Николаевича Колмогорова "Математика — наука и профессия".
Идея решения заключается в дополнительных построениях. Мы строим три попарно пересекающиеся прямые. Одна из этих прямых оказывается параллельной прямой, проходящей через первую и вторую точки касания, вторая — прямой, проходящей через третью и четвёртую точки, а третья — проходящей через первую и третью.
В результате мы приходим к тому, что плоскость, содержащая построенные три попарно пересекающиеся прямые, параллельна как плоскости, проходящей через первую, вторую и третью точки касания, так и плоскости, проходящей через первую, третью и четвёртую точки.
Это заключение делается на основе следующей теоремы. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Таким образом, две последние плоскости параллельны одной и той же плоскости, а значит, либо сами параллельны, либо совпадают. Очевидно, имеет место последнее, т. к. эти две плоскости имеют общие точки.
Таким образом, все четыре точки касания сторон пространственного четырёхугольника сферы оказываются лежащими в одной плоскости.
Видео Классная задача о пространственном четырёхугольнике, описанном около сферы канала Математический Мирок
Эта задача взята из сборника статей академика Андрея Николаевича Колмогорова "Математика — наука и профессия".
Идея решения заключается в дополнительных построениях. Мы строим три попарно пересекающиеся прямые. Одна из этих прямых оказывается параллельной прямой, проходящей через первую и вторую точки касания, вторая — прямой, проходящей через третью и четвёртую точки, а третья — проходящей через первую и третью.
В результате мы приходим к тому, что плоскость, содержащая построенные три попарно пересекающиеся прямые, параллельна как плоскости, проходящей через первую, вторую и третью точки касания, так и плоскости, проходящей через первую, третью и четвёртую точки.
Это заключение делается на основе следующей теоремы. Если две пересекающиеся прямые, лежащие в одной плоскости, соответственно параллельны двум пересекающимся прямым, лежащим в другой плоскости, то эти плоскости параллельны.
Таким образом, две последние плоскости параллельны одной и той же плоскости, а значит, либо сами параллельны, либо совпадают. Очевидно, имеет место последнее, т. к. эти две плоскости имеют общие точки.
Таким образом, все четыре точки касания сторон пространственного четырёхугольника сферы оказываются лежащими в одной плоскости.
Видео Классная задача о пространственном четырёхугольнике, описанном около сферы канала Математический Мирок
Показать
Комментарии отсутствуют
Информация о видео
Другие видео канала
Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Задача о двух касающихся окружностях, вписанных в угол
Задача на нахождение предела определённого интеграла, зависящего от параметра
Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?
Задача на нахождение математических ожиданий площади и периметра треугольника
Задача о ящиках с апельсинами и яблоками, у которых поменяли таблички с названиями фруктов
Как найти предел последовательности, n-й член которой (∀n≥3) равен полусумме двух предыдущих?
Как доказать, что среди любых n натуральных чисел найдутся числа, сумма которых делится на n?
Олимпиадная задача о рыцарях и лжецах, сидящих за круглым столом
Как доказать, что пределы n^(1/n) и a^(1/n), где a больше 0, равны 1?
Как доказать, что предел отношения a^n/n^α, где a больше 1, а α больше 0, равен +∞?
Как доказать теорему о медианах треугольника с использованием методов векторной алгебры?
Как доказать, что из 1/a+1/b+1/c=1/(a+b+c) следует, что 1/a^n+1/b^n+1/c^n=1/(a+b+c)^n, где n=2k+1?
Как доказать свойства параллелограмма с использованием методов векторной алгебры?
Доказать, что сумма расстояний от внутренней точки правильного треугольника до его сторон постоянна
Задача о последовательности, заданной рекуррентно
Задача об окружности, описанной около четырёхугольника
В какое время должна выстрелить пушка, чтобы жители города в среднем услышали выстрел в полдень?
Задача о чёрных и белых шарах в корзине на формулу полной вероятности и формулу Байеса