Как найти наибольшее значение |z|, если известно, что |z+1/z|=1?
Какое наибольшее значение может принимать модуль комплексного числа z, если |z+1/z|=1?
Перейдём в уравнении, приведённом в условии, от комплексного неизвестного z к вещественным неизвестным x и y. В результате ряда преобразований получим уравнение кривой четвёртого порядка, содержащее только лишь квадраты неизвестных.
Сделав замену p=x^2+y^2 и q=x^2−3y^2, приходим к уравнению, содержащему квадрат p и первую степень q. Добавив к уравнению неравенства относительно p и q, следующие из неотрицательности x^2 и y^2, получаем набор условий, которым должны удовлетворять p и q.
Геометрическое место точек на плоскости, координаты которых p и q в прямоугольной системе координат Opq удовлетворяют данным условием, представляют собой конечную дугу параболы. Координаты концов этой дуги по оси Op являются, очевидно, наименьшим и наибольшим значениями неизвестного p. Эти значения являются корнями квадратного уравнения, которое несложно построить.
Найдя наибольшее и наименьшее значения p, получаем также и наибольшее и наименьшее значения |z| из условия p=|z|^2.
Видео Как найти наибольшее значение |z|, если известно, что |z+1/z|=1? канала Математический Мирок
Перейдём в уравнении, приведённом в условии, от комплексного неизвестного z к вещественным неизвестным x и y. В результате ряда преобразований получим уравнение кривой четвёртого порядка, содержащее только лишь квадраты неизвестных.
Сделав замену p=x^2+y^2 и q=x^2−3y^2, приходим к уравнению, содержащему квадрат p и первую степень q. Добавив к уравнению неравенства относительно p и q, следующие из неотрицательности x^2 и y^2, получаем набор условий, которым должны удовлетворять p и q.
Геометрическое место точек на плоскости, координаты которых p и q в прямоугольной системе координат Opq удовлетворяют данным условием, представляют собой конечную дугу параболы. Координаты концов этой дуги по оси Op являются, очевидно, наименьшим и наибольшим значениями неизвестного p. Эти значения являются корнями квадратного уравнения, которое несложно построить.
Найдя наибольшее и наименьшее значения p, получаем также и наибольшее и наименьшее значения |z| из условия p=|z|^2.
Видео Как найти наибольшее значение |z|, если известно, что |z+1/z|=1? канала Математический Мирок
Показать
Комментарии отсутствуют
Информация о видео
Другие видео канала
Как выпуклый четырёхугольник разрезать по прямой, содержащей его вершину, на две равновеликие части?
Задача о двух касающихся окружностях, вписанных в угол
Как решить дифференциальное уравнение y''e^(−2x)−y'e^(−2x)+16y=0?
Как упростить выражение sin(160°)/(2cos(40°)+cos(160°)) с помощью геометрии?![Как найти определённый интеграл от функции 1/(1+arcsin(x)+sqrt(1+(arcsin(x))^2)) на отрезке [−1,1]?](https://i.ytimg.com/vi/XIJ7tiYo-j4/default.jpg)
Как найти определённый интеграл от функции 1/(1+arcsin(x)+sqrt(1+(arcsin(x))^2)) на отрезке [−1,1]?
Как разложить на множители многочлен десятой степени x^10+x^5+1?
Как найти сумму числового ряда с общим членом (–1)^(n–1)ln(1–1/(n+1)^2), где n изменяется от 1 до ∞?
Как решить уравнение sin(x)sin(2x)sin(3x)=4/5?
Как доказать, что число 1/2+1/3+...+1/n, где n превышает 1, не является целым?
Как упростить выражение sin(160°)/(2cos(40°)+cos(160°))?
Интересная олимпиадная задача о неравенствах
Интересная олимпиадная задача о разбиении набора чисел на группы с равными суммами чисел
Задача о движении шара внутри круглого бильярдного стола
Можно ли из шахматной доски убрать 8 прямоугольников 2x1 так, чтобы не осталось целых квадратов 2x2?
Как найти двойной интеграл от функции |ln(x)−ln(y)|∙exp(−(x+y)) по области {(x, y): x≥0, y≥0}?
Как доказать, что если число abc (a, b, c — цифры разрядов) делится на 37, то и bca делится на 37?
Как доказать, что предел отношения a^n/n^α, где a больше 1, а α больше 0, равен +∞?
Проблема Монти Холла. Два способа решения
Задача о площади фигуры, ограниченной 4 окружностями
Как найти стороны равнобокой трапеции, описанной около трёх попарно касающихся равных окружностей?
Как найти сумму функционального ряда с общим членом 1/2^n·tg(x/2^n), где n изменяется от 1 до ∞?