Интересная олимпиадная задача о разбиении набора чисел на группы с равными суммами чисел

Сумма 100 натуральных чисел, каждое из которых не больше 100, равна 200. Доказать, что из них можно выбрать несколько чисел, сумма которых равна 100.
Переформулируем требование задачи следующим образом. Доказать, что эти числа можно распределить по двум таким группам, что сумма чисел, имеющихся в каждой группе, равна 100. Это требование эквивалентно исходному.
Решение задачи основано на введении в рассмотрение так называемого "идеального" набора чисел, все элементы которого являются двойками. Числа, образующие этот набор, очевидно удовлетворяют условию задачи. Далее построим алгоритм преобразования идеального набора в произвольный набор чисел, удовлетворяющих условию задачи.
Затем идеальный набор разобьём на две группы, по 50 двоек в каждой. Если интересующий нас набор является идеальным, то задача решена. В противном случае с помощью упомянутого выше алгоритма будем преобразовывать идеальный набор чисел в нужный нам. Каждый раз, когда в процессе преобразований возникает дисбаланс сумм (то есть суммы элементов групп перестают быть равными), мы восстанавливаем баланс сумм. В результате получаем нужное нам разбиение на группы.
Задача о распределении студентов по группам: https://www.youtube.com/watch?v=6Mm1nbna62A

Видео Интересная олимпиадная задача о разбиении набора чисел на группы с равными суммами чисел канала Математический Мирок