Как выпуклый четырёхугольник разрезать по прямой, содержащей его вершину, на две равновеликие части?
Рассматривается следующая задача. Выпуклый четырёхугольник разрезать по прямой, проходящей через его вершину, на две части, площади которых равны.
Разрешается в ходе решения задачи пользоваться следующими инструментами: линейкой, циркулем, ножницами.
По сути, раз прямая, по которой должен проходить разрез, обязана содержать вершину четырёхугольника, задача сводится к нахождению второй точки, принадлежащей данной прямой. Будем искать эту точку на сторонах четырёхугольника.
Идея решения задачи заключается в следующем. Вначале проводим диагональ из выбранной вершины в противоположную. Она делит четырёхугольник на два треугольника. Опустим высоты в этих треугольниках на общее основание, совпадающее с диагональю четырёхугольника. Если высоты совпадают, значит площади треугольников равны, и разрезать четырёхугольник следует по диагонали. Задача решена.
А если не совпадают, то вторую точку, по которой пройдёт разрез, нужно искать на стороне того треугольника, чья высота больше (назовём этот треугольник, для определённости, "вторым", а другой треугольник — "первым"). Здесь имеется в виду та сторона треугольника, которая исходит из той вершины, к которой проведена диагональ.
Вначале решаем промежуточную задачу. Находим такую точку на этой стороне, чтобы треугольник, имеющий одну вершину в этой точке, вторая вершина которого совпадает с той вершиной второго треугольника, из которой проведена высота, а третья — с той вершиной четырёхугольника, из которой проведена диагональ, имел ту же площадь, что и первый треугольник. После нахождения этой точки строим данный треугольник.
Между только что построенным треугольником и первым треугольником в четырёхугольнике имеется фигура, представляющая собой также треугольник. Одна из вершин этого треугольника совпадает с той вершиной четырёхугольника, из которой была проведена диагональ. Проводим из этой вершины треугольника медиану. Эта медиана делит четырёхугольник на две равновеликие (т. е. равные по площади) фигуры — треугольник и четырёхугольник. Именно по этой медиане и следует разрезать исходный четырёхугольник.
Видеоролик о предыдущей (более простой) задаче на построение и разрезание: https://www.youtube.com/watch?v=mhXqalp1G-Y
Видеоролик о простейших построениях с помощью циркуля и линейки: https://www.youtube.com/watch?v=iMxSvpz_5no
Видеоролик, в котором доказывается теорема о пересекающихся
хордах: https://www.youtube.com/watch?v=vGVzRs_GyQk
Видео Как выпуклый четырёхугольник разрезать по прямой, содержащей его вершину, на две равновеликие части? канала Математический Мирок
Разрешается в ходе решения задачи пользоваться следующими инструментами: линейкой, циркулем, ножницами.
По сути, раз прямая, по которой должен проходить разрез, обязана содержать вершину четырёхугольника, задача сводится к нахождению второй точки, принадлежащей данной прямой. Будем искать эту точку на сторонах четырёхугольника.
Идея решения задачи заключается в следующем. Вначале проводим диагональ из выбранной вершины в противоположную. Она делит четырёхугольник на два треугольника. Опустим высоты в этих треугольниках на общее основание, совпадающее с диагональю четырёхугольника. Если высоты совпадают, значит площади треугольников равны, и разрезать четырёхугольник следует по диагонали. Задача решена.
А если не совпадают, то вторую точку, по которой пройдёт разрез, нужно искать на стороне того треугольника, чья высота больше (назовём этот треугольник, для определённости, "вторым", а другой треугольник — "первым"). Здесь имеется в виду та сторона треугольника, которая исходит из той вершины, к которой проведена диагональ.
Вначале решаем промежуточную задачу. Находим такую точку на этой стороне, чтобы треугольник, имеющий одну вершину в этой точке, вторая вершина которого совпадает с той вершиной второго треугольника, из которой проведена высота, а третья — с той вершиной четырёхугольника, из которой проведена диагональ, имел ту же площадь, что и первый треугольник. После нахождения этой точки строим данный треугольник.
Между только что построенным треугольником и первым треугольником в четырёхугольнике имеется фигура, представляющая собой также треугольник. Одна из вершин этого треугольника совпадает с той вершиной четырёхугольника, из которой была проведена диагональ. Проводим из этой вершины треугольника медиану. Эта медиана делит четырёхугольник на две равновеликие (т. е. равные по площади) фигуры — треугольник и четырёхугольник. Именно по этой медиане и следует разрезать исходный четырёхугольник.
Видеоролик о предыдущей (более простой) задаче на построение и разрезание: https://www.youtube.com/watch?v=mhXqalp1G-Y
Видеоролик о простейших построениях с помощью циркуля и линейки: https://www.youtube.com/watch?v=iMxSvpz_5no
Видеоролик, в котором доказывается теорема о пересекающихся
хордах: https://www.youtube.com/watch?v=vGVzRs_GyQk
Видео Как выпуклый четырёхугольник разрезать по прямой, содержащей его вершину, на две равновеликие части? канала Математический Мирок
Показать
Комментарии отсутствуют
Информация о видео
Другие видео канала
Как доказать, что высоты треугольника пересекаются в одной точке?
Задача о двух касающихся окружностях, вписанных в угол
Как решить дифференциальное уравнение y''e^(−2x)−y'e^(−2x)+16y=0?
Как упростить выражение sin(160°)/(2cos(40°)+cos(160°)) с помощью геометрии?
Типичная ошибка студентов, допускаемая при нахождении пределов функций
Как доказать, что число (1·3·5·...·99)/(2·4·6·...·100) больше 1/15 и меньше 1/12?![Как найти определённый интеграл от функции 1/(1+arcsin(x)+sqrt(1+(arcsin(x))^2)) на отрезке [−1,1]?](https://i.ytimg.com/vi/XIJ7tiYo-j4/default.jpg)
Как найти определённый интеграл от функции 1/(1+arcsin(x)+sqrt(1+(arcsin(x))^2)) на отрезке [−1,1]?
Как разложить на множители многочлен десятой степени x^10+x^5+1?
Как найти сумму числового ряда с общим членом (–1)^(n–1)ln(1–1/(n+1)^2), где n изменяется от 1 до ∞?
Как решить уравнение sin(x)sin(2x)sin(3x)=4/5?
Как доказать, что число 1/2+1/3+...+1/n, где n превышает 1, не является целым?
Как сумму кубов трёх чисел выразить через их сумму, сумму их квадратов и сумму обратных к ним чисел?
Как упростить выражение sin(160°)/(2cos(40°)+cos(160°))?
Интересная олимпиадная задача о разбиении набора чисел на группы с равными суммами чисел
Задача о движении шара внутри круглого бильярдного стола
Можно ли из шахматной доски убрать 8 прямоугольников 2x1 так, чтобы не осталось целых квадратов 2x2?
Как найти двойной интеграл от функции |ln(x)−ln(y)|∙exp(−(x+y)) по области {(x, y): x≥0, y≥0}?
Как доказать, что если число abc (a, b, c — цифры разрядов) делится на 37, то и bca делится на 37?
Проблема Монти Холла. Два способа решения
Задача о площади фигуры, ограниченной 4 окружностями