Как доказать признак делимости на девять?

Признак делимости на девять формулируются следующим образом. Для того, чтобы целое число делилось на девять, необходимо и достаточно, чтобы сумма цифр в его десятичной записи делилась на девять.
Доказывать будем сразу и необходимое, и достаточное условия. Докажем более сильное утверждение чем то, которое подлежит доказательству. А именно: целое число и сумма его цифр имеют один и тот же остаток от деления на девять или, что то же самое, сравнимы по модулю девять. Для этого достаточно доказать, что разность числа и суммы его цифр делится на девять.
Легко представить эту разность в виде суммы из n слагаемых, где n — количество знаков в десятичной записи числа, и показать, что каждое из слагаемых делится на девять.
Пользуясь доказанным утверждением, можно легко доказать, что если суммы цифр в десятичных записях двух натуральных равны, то их разность делится на девять. Это следует из того, что каждое из этих чисел сравнимо с суммой его цифр по модулю девять, а, поскольку обе суммы равны, то, в силу транзитивности сравнимости по модулю, эти два числа также сравнимы по модулю девять, а это и означает, что их разность делится на девять.
Ролик с первым способом решения задачи, рассмотренной в конце данного видео: https://www.youtube.com/watch?v=I8uhbxMrPZc

Видео Как доказать признак делимости на девять? канала Математический Мирок