Уравнения математической физики. Семинар 18. Теория групп. Конечные группы.

Теория групп. Конечные группы. Группы перестановок, поворотов, группы симметрий правильных n-угольников и многогранников. Понятия об изоморфизме и гомоморфизме групп, порядке группы, порядке элемента группы, действии группы на множестве, орбитах и стабилизаторах элемента множества, подгруппы, левых и правых смежных классах, классы сопряженности. Рассматриваются подробно свойства группы перестановок, разложение перестановок по циклам, транспозициям, элементарным транспозициям, четность перестановки, классы сопряженности перестановок. Рассмотрены также классы сопряженности абелевых групп и группы симметрий правильного n-угольника. Подсчет количества элементов группы с помощью орбит и стабилизаторов.
00:00 Определение группы. Единственность единицы. Обратный к обратному.
08:05 Примеры групп.
17:45 Группа перестановок Sn.
21:06 Упражнения по перемножению перестановок.
27:40 Разбиение перестановок на непересекающиеся циклы.
38:30 Понятие о порядке элемента группы. Порядок цикла.
48:30 Транспозиции. Разложение перестановок в произведение транспозиций.
1:02:00 Разложение перестановки в произведение элементарных транспозиций.
1:10:40 Инверсия перестановки. Понятие о четности перестановки. Число инверсий перестановки, домноженной на элементарную транспозицию.
1:24:04 Четность произведения транспозиций. Четность транспозиции. Четность цикла.
1:36:24 Понятие об образующих группы. Конечно-порожденные группы.
1:41:30 Понятие абелевой группы. Задание группы таблицей умножения.
1:49:10 Изоморфизм групп. Примеры изоморфных и неизоморфных групп.
1:56:22 Прямое произведение групп.
2:06:45 Понятие подгруппы.
2:09:07 Группы симметрий правильного n-угольника и правильного многогранника.
2:18:10 Действие группы на множестве. Орбиты и стабилизаторы. Свойства.
2:36:00 Вычисление порядка группы с помощью орбит и стабилизаторов.
2:50:15 Действие группы на себе слева и справа. Правые смежные классы. Теорема Лагранжа.
3:07:55 Действие группы на себе сопряжениями. Классы сопряженности. Классы сопряженности для абелевой группы, группы перестановок, группы Dn.
3:46:10 Гомоморфизм групп.

Видео Уравнения математической физики. Семинар 18. Теория групп. Конечные группы. канала Alexandr Osin