Уравнения математической физики. Семинар 19. Теория представлений.

Комплексные представления простых групп. Перестановочное представление. Инвариантные подпространства. Неприводимые представления. Теорема Машке. Лемма Шура. Унитаризуемость представлений конечных групп. Метод усреднения в группе. Структура одномерных представлений групп Sn и Cn. Характеры представлений. Свойства характеров, инвариантность характера на классе сопряженности. Тензорное произведение операторов, тензорное произведение представлений. Пространство функций, постоянных на классах сопряженности группы G C_class(G). Ортонормированность и базисность характеров неприводимых представлений в C_class(G). Ортогональность по строкам и столбцам. Алгоритм разложения приводимого представления на неприводимые. Теорема Бернсайда. Таблицы характеров групп C_n, C_2xC_2, D4, D7, S3, S4.
00:00 Сведения по группам Cn, Dn, Sn. Устройство классов сопряженности в этих группах.
13:55 Определение представления. Изоморфизм представлений (эквивалентные).
21:48 Примеры представлений. Перестановочное и регулярное представления.
30:40 Есть ли базис представлений? Инвариантные подпространства. Пример для группы S3.
Идея разложимости на неприводимые.
45:54 Контрпример разложимости на неприводимые (выделение дополняющего инвариантного подпространства) в случае бесконечной группы.
50:15 Прямая сумма представлений. Теорема о выделении дополняющего инвариантного подпространства. Инвариантный относительно действия группы проектор.
1:16:25 Определение неприводимого представления. Теорема Машке.
1:26:12 Лемма Шура.
1:42:30 Одномерность неприводимых представлений абелевой группы.
1:47:34 Одномерные неприводимые представления групп Cn и Sn. Диагонализуемость матриц представлений конечной группы.
2:06:20 Унитарность представлений. Эрмитово скалярное произведение. Матрица Грама. G-инвариантное скалярное произведение. Унитаризуемость представлений конечной группы. Еще одно доказательство теоремы о выделении дополняющего инвариантного подпространства.
2:32:35 Характеры представлений. Элементарные свойства характеров: совпадение характеров изоморфных. Характер единичного элемента, обратного элемента, прямой суммы представлений.
2:42:05 Тензорное произведение линейных пространств. Тензорное произведение операторов. Запись матрицы тензорного произведения операторов наглядно. Тензорное произведение представлений. Характер тензорного произведения представлений.
3:04:35 Характеры сопряженных элементов. Пространство функций, постоянных на классах сопряженности C_class(G). Базис пространства. Скалярное произведение в C_class(G).
3:12:30 Ортонормированность характеров неприводимых представлений конечной группы G в пространстве C_class(G). Базисность характеров неприводимых представлений.
3:42:05 Доказательство ортогональности характеров (по строкам).
3:58:10 Разложение любого приводимого представления конечной группы в сумму неприводимых.
4:01:38 Критерий неприводимости представления.
4:05:10 Ортогональность характеров по столбцам.
4:11:10 Характеры регулярного представления.
4:14:05 Разложение регулярного представления в сумму неприводимых (способ добывать недостающее неприводимое представление).
4:16:30 Теорема Бернсайда. Сумма квадратов размерностей неприводимых представлений равна порядку группы.
4:18:30 Сводка утверждений по теории представлений для составления таблиц характеров неприводимых представлений.
4:29:18 Таблицы неприводимых представлений.
4:30:05 Циклическая группа Cn.
4:41:20 Группа C2 x C2.
4:47:27 Группа симметрий D4.
5:06:10 Группа симметрий D7.
5:18:37 Группа перестановок S2.
5:20:17 Группа перестановок S3.
5:30:45 Группа перестановок S4.

Видео Уравнения математической физики. Семинар 19. Теория представлений. канала Alexandr Osin