Уравнения математической физики. Семинар 17. Преобразование Меллина.

Преобразование Меллина. Преобразование Фурье и двустороннее преобразование Лапласа. Формулы обращения. Преобразование Меллина как двустороннее преобразование Лапласа по логарифмированному аргументу. Полоса голоморфности преобразования Меллина. Формула обращения преобразования Меллина. Приближенное вычисление интегралов с помощью преобразования Меллина. Свойства преобразования Меллина. Примеры вычислений прямого и обратного преобразования Меллина. Гипергеометрическая функция как интеграл Меллина-Барнса.
0:00 Цель занятия. Приближенное вычисление интегралов.
4:10 Напоминание. Преобразование Фурье.
5:50 Двустороннее преобразование Лапласа. Обращение двустороннего преобразования Лапласа. Полоса голоморфности. Преобразование Лапласа как частный случай двустороннего преобразования Лапласа.
32:50 Преобразование Меллина, как двустороннее преобразование Лапласа от логарифмического аргумента. Обратное преобразование Меллина. Полоса голоморфности.
45:30 Сводка формул прямого и обратного преобразований Меллина.
48:35 Применение преобразования Меллина для вычисления интеграла. Преобразование Меллина произведения функций. Сверточное свойство преобразования Меллина.
1:08:23 Преобразования Меллина подинтегральных функций. Полосы голоморфности.
1:16:00 Обратная меллинова свертка. Вычисление интеграла вычетами. Получение ответа с точностью до z и z ln(z).
1:45:20 *Свойства преобразования Меллина. Сравнение со свойствами преобразований Фурье и Лапласа.
2:32:30 *Примеры вычислений прямого преобразования Меллина.
4:03:45 *Примеры вычислений обратного преобразования Меллина. Асимптотические свойства гамма-функции, помогающие замыкать контур при вычислении обратных преобразований Меллина.
4:39:00 *Примеры вычислений обратного преобразования Меллина. Неаккуратный выход за полосу голоморфности.
5:29:40 *Представление гипергеометрической функции 2-1 интегралом Меллина-Барнса.
5:43:02 *Вычисление асимптотики интеграла из начала занятия для больших значений параметров. Асимптотический ряд, как результат замыкания контура в другую сторону в комплексной плоскости.
5:53:00 *Преобразование Меллина как диагонализующее инвариантные относительно растяжений системы. Пример двумерного уравнения Лапласа в угловом секторе.

Видео Уравнения математической физики. Семинар 17. Преобразование Меллина. канала Alexandr Osin