Уравнения математической физики. Семинар 9. Часть 1.

Классические ортогональные полиномы (КЛОПы). Скалярное произведение с весом. Постановка задачи Штурма-Лиувилля для КЛОП. Собственные значения для КЛОП и обобщенная формула Родрига. Общие свойства ортогональных полиномов: нули, метод ортогонализации Грама-Шмидта, производящая функция, рекуррентное соотношение, формула Кристоффеля-Дарбу, нормировка. Таблица КЛОП.
00:00 Мотивация: разложение функций по полной системе ортогональных полиномов.
5:55 Спектральная задача для оператора Штурма-Лиувилля. Весовая функция. Уравнение Пирсона для весовой функции.
11:35 Ортогональность собственных функций, лежащих в разных собственных подпространствах. Определение скалярного произведения с весовой функцией. Условия на весовую функцию/ дифференциальный оператор. Граничные условия для решения спектральной задачи.
31:02 Случай ортогональных полиномов.
33:30 Вывод обобщенной формулы Родрига. Решение спектральной задачи.
55:36 Замечание о полноте системы ортогональных полиномов.
1:00:22 Свойства ортогональных полиномов. Ортогональность младшим степеням.
1:03:44 Свойства ортогональных полиномов. Порождение системы ортогональных полиномов методом ортогонализации Грама-Шмидта.
1:07:13 Свойства ортогональных полиномов. Нули ортогональных полиномов.
1:12:34 Свойства ортогональных полиномов. Ортогональность производных ортогональных полиномов.
1:16:28 Свойства ортогональных полиномов. Рекуррентное соотношение между ортогональными полиномами.
1:26:00 Свойства ортогональных полиномов. Формула Кристоффеля-Дарбу.
1:33:16 Свойства ортогональных полиномов. Нормировка ортогональных полиномов.
1:43:48 Свойства ортогональных полиномов. Производящая функция ортогональных полиномов.
1:56:34 Таблица классических ортогональных полиномов.

Видео Уравнения математической физики. Семинар 9. Часть 1. канала Alexandr Osin