Уравнения математической физики. Семинар 20. Группы и алгебры Ли.

Знакомство с группами и алгебрами Ли. Группы GL(n), SL(n), U(n), SU(n), O(n), SO(n). Касательное пространство к единице в группе Ли T_E(G). Замкнутость касательного пространства относительно взятия коммутатора. Алгебры Ли. Изоморфизмы и гомоморфизмы алгебр Ли. Структурные константы. Оператор Казимира. Экспоненциальное отображение.
00:00 Иллюстрация об экспоненциальности элементов группы на примере группы SO(2).
8:25 Группы Ли. Функция умножения. Свойства функции умножения.
13:48 Примеры групп Ли. Вычисление размерностей групп Ли. Структура производной элемента группы в окрестности 1 для групп SL(n), U(n), [S]O(n).
46:03 Поведение элементов группы в окрестности 1. Касательное пространство к единичному элементу в группе Ли T_E(G). Линейность пространства T_E(G).
51:12 Касательные пространства для U(n), SL(n), O(n).
54:12 Замкнутость касательного пространства относительно сопряжений элементами группы. Присоединенное представление Ad. Замкнутость касательного пространства относительно взятия коммутатора.
1:01:32 Алгебра Ли. Примеры алгебр Ли.
1:08:58 Базис алгебры Ли. Структурные константы.
1:12:00 Изоморфизм/гомоморфизм алгебр Ли.
1:16:50 Экспонента от элемента касательного пространства. Восстановление группы по алгебре для связных односвязных групп Ли.
1:26:45 Как искать генераторы группы?
1:31:22 Примеры поиска генераторов для SO(3) и SU(2).
1:50:24 Представления групп Ли. Разложение представления в окрестности единицы. Представления алгебр Ли. Идея поиска представлений групп Ли, исследование представлений алгебр Ли.
2:09:00 Изучение алгебр su(2) и so(3).
2:10:47 Одномерные представления su(2).
2:14:40 Замечание об использовании теорем из теории конечных групп. Мера Хаара.
2:22:10 Двумерное представление алгебры su(2).
2:23:53 Трехмерное представлен
2:26:10 Операторы спина. Оператор Казимира. Повышающий и понижающий операторы.
2:40:11 Задача 10.2.7.
2:51:00 Построение лестничной алгебры. Старший и младший векторы.

Видео Уравнения математической физики. Семинар 20. Группы и алгебры Ли. канала Alexandr Osin