Простое решение задачи о внутренней точке правильного треугольника

Доказать, что сумма расстояний от внутренней точки правильного треугольника до его сторон постоянна.
Опускаем из внутренней точки правильного треугольника перпендикуляры на его стороны. Требуется доказать, что сумма длин этих перпендикуляров постоянна, т. е. не зависит от выбора внутренней точки.
Выполняем дополнительные построения: соединяем внутреннюю точку треугольника с его вершинами. Построенные отрезки вместе со сторонами треугольника образуют стороны трёх треугольников, из которых состоит исходный треугольник. Стороны исходного треугольника являются основаниями новых треугольников, а перпендикуляры, опущенные из внутренней точки на его стороны, — их высотами.
Сумма площадей эти трёх треугольников равна площади исходного треугольника. Записываем это равенство, представляя каждую из четырёх площадей как полупроизведение высоты треугольника на его основание. Основания у всех четырёх треугольников одинаковые, поэтому после деления обеих частей этого равенства на половину стороны исходного треугольника, получаем, что сумма высот трёх малых треугольников, т. е. сумма расстояний от внутренней точки большого треугольника до его сторон, равна высоте исходного треугольника, т. е. константе, что и требовалось доказать.
Предыдущий ролик с решением этой же задачи другим способом: https://www.youtube.com/watch?v=PKZgCy-RtnA
Решение задачи о внутренней точке правильного тетраэдра: https://www.youtube.com/watch?v=HFP3DubHV0Y

Видео Простое решение задачи о внутренней точке правильного треугольника канала Математический Мирок