Интересная олимпиадная задача об иррациональных корнях полиномов с целыми коэффициентами

Рассмотрим следующую задачу (набор задач).
Найдите многочлен с целыми коэффициентами a) 4-й степени, имеющий корнем число (2+scrt(3))^(1/4)+(2−scrt(3))^(1/4) ; б) 5-й степени, имеющий корнем число (2+scrt(3))^(1/5)+(2−scrt(3))^(1/5). в) Докажите существование многочлена с целыми коэффициентами степени n, имеющего корнем число (2+scrt(3))^(1/n)+(2−scrt(3))^(1/n).
В первых двух пунктах уравнение вида x=a+b, где — первое и второе слагаемые, суммы которых являются корнями искомых многочленов, с помощью различных преобразований приводится к алгебраическому уравнению 4-й или 5-й (в зависимости от пункта) степени с целыми коэффициентами. Левые части уравнений берутся в качестве искомых многочленов.
В третьем пункте с помощью метода математической индукции доказываем существование для любого натурального k полинома Q_k(x) k-й степени с целыми коэффициентами, такого, что уравнение Q_k(x)=a^k+b^k имеет корень, равный a+b, где a= (2+scrt(3))^(1/n) , b=(2−scrt(3))^(1/n). Если положить: k=n, то придём к уравнению Q_n(x)−4=0. В левой его части стоит полином, который мы обозначим P_n(x). Это и есть полином с целыми коэффициентами степени n, имеющий корнем число (2+scrt(3))^(1/n)+(2−scrt(3))^(1/n), существование которого требовалось доказать.
Имея в распоряжение рекуррентную формулу для последовательности полиномов Q, можно легко получить и рекуррентную формулу для последовательности полиномов P. С помощью этой формулы несложно найти полиномы P_6(x) и P_7(x).
Тайм-коды:
00:00 — Приветствие. Формулировка условий задач
00:49 — Решение задачи из пункта a)
02:58 — Решение задачи из пункта б)
06:00 — Решение задачи из пункта в)
12:50 — Построение рекуррентной формулы для полиномов P_n(x)
15:22 — Нахождение полиномов P_6(x) и P_7(x)

Видео Интересная олимпиадная задача об иррациональных корнях полиномов с целыми коэффициентами канала Математический Мирок