Как найти неопределённый интеграл от функции 1/sqrt(x^2±a^2)? Как получить длинный логарифм?

Для нахождения неопределённый интеграла от функции 1/sqrt(x^2±a^2) можно использовать как тригонометрические, так и гиперболические подстановки. Однако более простой способ — использовать подстановку t=x+sqrt(x^2±a^2), которая достаточно быстро приводит к верному ответу — длинному логарифму.
Ещё одно преимущество этой подстановки заключается в её универсальности. В случае применения как гиперболических подстановок, так и тригонометрических, для каждого знака, стоящего перед a^2, требуется выбирать свою подстановку, тогда как указанная выше подстановка "срабатывает" сразу для обоих знаков.
Наконец, эта подстановка позволяет свести подынтегральную функцию, являющейся рациональной по x и по sqrt(x^2±a^2), к подынтегральной функции, рациональной по t, т. е. приводит к избавлению от иррациональности.

Видео Как найти неопределённый интеграл от функции 1/sqrt(x^2±a^2)? Как получить длинный логарифм? канала Математический Мирок