Бином Ньютона: формула, доказательство и Треугольник Паскаля

Бином Ньютона — это формула, которая обобщает привычные нам формул сокращённого умножения (квадрат суммы и куб суммы, например). С помощью Бинома Ньютона можно разложить на слагаемые любую степень суммы. При этом у начинающих учеников возникает несколько проблем:
1. Формула Бинома Ньютона содержит знак суммы — это компактная запись множества слагаемых специального вида;
2. Сами слагаемые тоже не простые. Там есть степени (и это не проблема), а есть биноминальные коэффициенты;
3. Доказательство формулы Бинома Ньютона — отдельная история. Существует несколько способов доказать её, но мы будем опираться на метод математической индукции.

Таким образом, из этого урока вы узнаете:
1. Что такое Бином Ньютона, как выглядит эта формула, что с ней можно делать и что она вообще означает;
2. Что такое биноминальные коэффициенты. Как считается число сочетаний из n элементов по k элементов, при чём тут факториалы и комбинаторика;
3. Кстати, о факториалах. Мы дополним стандартное определение факториала с помощью рекуррентных формул. В частности, 0! = 1 — прямо по определению. Это ни в коем случае не противоречит "классическому" определению факториала (произведение всех натуральных чисел от 1 до n), но позволяет легко считать большие биноминальные коэффициенты;
4. Затем мы рассмотрим важнейшее свойство биноминальных коэффициентов, на основе которого построим треугольник Паскаля — ещё одну замечательную конструкцию, которую можно использовать для разложения степеней в многочлены даже в том случае, если вы не знаете, что такое Бином Ньютона;
5. Ну и вишенка на торте — мы докажем саму формулу Бинома Ньютона, опираясь на свойства биноминальных коэффициентов и математическую индукцию.
6. А в качестве опции рассмотрим более наглядный метод группировки слагаемых. После чего станет понятно, почему они группируются именно так, как предложено в доказательстве, а никак иначе.:)

В целом хочу отметить, что тема Бинома Ньютона — большая и сложная. Её нельзя объяснить и доказать в коротком видео. Точнее, объяснить-то как раз можно, но доказать — тут нужно детально разобраться в каждом элементе формулы. Поэтому видео получилось довольно объёмным, но при этом максимально полным и информативным.:)

00:00 0. Формула бинома Ньютона
01:55 1. Значок суммы
10:30 2. Биноминальные коэффициенты
16:25 3. Треугольник Паскаля
23:37 4. Доказательство Бинома Ньютона
42:08 5. Другой способ суммирования

Меня зовут Павел Бердов, и я веду этот канал для тех, кто изучает школьную математику 7—11 классов (алгебра, геометрия и стереометрия), готовится к профильному ЕГЭ по математике (или ОГЭ), а также изучает высшую математику в университете (в т.ч. уровня мехмата МГУ). Помимо теории предлагаю вашему вниманию задачи для самостоятельного решения. Поэтому смотрите, изучайте, решайте — и сдавайте экзамены и контрольные работы на пятёрки.:)

Видео Бином Ньютона: формула, доказательство и Треугольник Паскаля канала Павел Бердов