Чётные и нечётные функции, их свойства и графики

Чётная функция — это любая функция, область определения которой симметрична относительно нуля, и при этом f(-x) = f(x). Проще говоря, в противоположных точках функция принимает одни и те же значения.
Классические примеры: квадратичная функция (любая степенная функция с чётным показателем — отсюда и название), модуль.
Нечётная функция — это любая функция с симметричной областью определения, для которой f(-x) = -f(x). Другими словами, значения функции в противоположных точках тоже противоположны.
Классические примеры: линейная функция и любая степенная функция с нечётным показателем. В частности, третья степень, график которой — кубическая парабола.
Все остальные функции, которые не подходят под эти два определения, называются функциями общего вида.

Всё это алгебра 9 класс.

Исследование функции на чётность и нечётность выполняется в два этапа:
1. Проверяем область определения функции. Выясняем, является ли она симметричной. Если есть асимметрия — дальнейшие проверки не нужны.
2. Вычисляем значения функции в противоположных точках: f(x) и f(-x). Если они совпадают, то функция чётная. Если противоположны, это означает нечетность функции.

Основные свойства чётных и нечётных функций:
1. График чётной функции симметричен относительно оси OY (осевая симметрия);
2. График нечётной функции симметричен относительно начала координат (центральная симметрия).

Особый интерес представляю графики чётных функций. С их помощью можно решать сложные задачи с параметрами и уравнения, которые не решаются стандартными приёмами. Чётные функции используются при графическом решении задач, а также в методе мажорант, когда мы рассматриваем левую и правую часть уравнения как функции и обнаруживаем, что их области значения пересекаются лишь в одной точке.

Кроме того, исследование функций на чётность / нечётность входит в математический анализ и помогает чертить графики функций и понимать их поведение.

Небольшое пояснение насчёт школьной математики. В некоторых учебниках исследование функций на чётность — это алгебра 8 класс. В других — это программа 9 класса. Часто чётные функции проходят вместе со сдвигами графиков, но последовательность тут не принципиально: можно сначала разобраться с чётностью, а затем изучать сдвиги, а можно поступить наоборот.

00:00 0. Ключевые определения
06:01 1. Простые задачи
15:52 2. Задачи посложнее
21:20 3. Исследование области определения
35:21 4. График чётной функции
46:46 5. Задачи с параметром

Меня зовут Павел Бердов, и я веду этот канал для тех, кто изучает школьную математику 7—11 классов (алгебра, геометрия и стереометрия), готовится к профильному ЕГЭ по математике (или ОГЭ), а также изучает высшую математику в университете (в т.ч. уровня мехмата МГУ). Помимо теории предлагаю вашему вниманию задачи для самостоятельного решения. Поэтому смотрите, изучайте, решайте — и сдавайте экзамены и контрольные работы на пятёрки.:)

Видео Чётные и нечётные функции, их свойства и графики канала Павел Бердов