Обратные линейные операторы. Тема

Телеграм-канал магистратуры: http://t.me/ad_samgtu
Паблик ВК магистратуры: http://vk.com/ad.samgtu

Частные курсы. Telegram, WhatsApp, Viber: +7 (927) 74-69-502; VK: https://vk.com/id195593573
Что такое линейный оператор, обратный к данному линейному оператору, и в каких случаях обратные операторы существуют.

--------------------------------

Два линейных оператора называются взаимно-обратными, если их произведение дает тождественный линейный оператор. Это весьма напоминает определение взаимно-обратных матриц, что, как будет ясно позже, неслучайно.

Не всякий оператор обладает обратным оператором. Критерий существования обратного линейного оператора состоит в следующем.

Введем понятия ядра и образа линейного оператора. Ядром называется совокупность всех векторов векторного пространства, переходящих в ноль под действием данного линейного оператора. А образом линейного оператора называется совокупность всех векторов, которые получаются под действием линейного оператора. Другими словами, ядро — это та часть векторного пространства, которая под действием оператора переходит в ноль, а образ — это то, во что переходит все пространство.

Так вот. Обратный линейный оператор существует тогда и только тогда, когда ядро исходного линейного оператора равно нулю. Или, что тоже самое, когда образ исходного линейного оператора совпадает со всем пространством.

Можно рассуждать и так: если под действием линейного оператора размерность векторного пространства не понижается, то обратный оператор существует. Если же размерность понижается, то обратного оператора нет.

--------------------------------

Просмотрите видео по теме «Обратные линейные операторы», затем перейдите к вопросам по теме «Обратные линейные операторы», попробуйте самостоятельно решить данные вам задачи и, наконец, проверьте себя, просмотрев ответы на вопросы по теме «Обратные линейные операторы».

--------------------------------

Тема «Обратные линейные операторы»: https://youtu.be/mf27j1OtayI

Вопросы по теме «Обратные линейные операторы»: https://youtu.be/gJUC2w-YHFw

Ответы на вопросы по теме «Обратные линейные операторы»:https://youtu.be/8wkU9WAH3Lc

Видео Обратные линейные операторы. Тема канала Матан