Как доказать постоянство суммы расстояний от внутренней точки правильного тетраэдра до его граней?
Доказать, что сумма расстояний от внутренней точки правильного тетраэдра до его граней постоянна.
Задача взята из сборника статей академика А.Н. Колмогорова "Математика — наука и профессия".
Соединяем внутреннюю точку с вершинами тетраэдра. Получаем четыре тетраэдра, из которых состоит исходный тетраэдр. Сумма объёмов этих четырёх тетраэдров равна, очевидно, объёму исходных тетраэдров. Записываем это утверждение в виде равенства.
Далее объём каждого тетраэдра записываем в виде одной трети произведения его высоты на площадь основания. Поскольку площади оснований всех пяти тетраэдров равны, можно разделить обе части равенства на эту площадь. После умножения обеих частей полученного равенства на три, получаем: сумма высот тетраэдров, из которых состоит исходный тетраэдр, равна высоте этого тетраэдра.
Но эта сумма высот и есть ни что иное, как сумма расстояний от внутренней точки тетраэдра до его граней. Она равна высоте исходного тетраэдра, т. е. постоянна, что и требовалось доказать.
Видео Как доказать постоянство суммы расстояний от внутренней точки правильного тетраэдра до его граней? канала Математический Мирок
Задача взята из сборника статей академика А.Н. Колмогорова "Математика — наука и профессия".
Соединяем внутреннюю точку с вершинами тетраэдра. Получаем четыре тетраэдра, из которых состоит исходный тетраэдр. Сумма объёмов этих четырёх тетраэдров равна, очевидно, объёму исходных тетраэдров. Записываем это утверждение в виде равенства.
Далее объём каждого тетраэдра записываем в виде одной трети произведения его высоты на площадь основания. Поскольку площади оснований всех пяти тетраэдров равны, можно разделить обе части равенства на эту площадь. После умножения обеих частей полученного равенства на три, получаем: сумма высот тетраэдров, из которых состоит исходный тетраэдр, равна высоте этого тетраэдра.
Но эта сумма высот и есть ни что иное, как сумма расстояний от внутренней точки тетраэдра до его граней. Она равна высоте исходного тетраэдра, т. е. постоянна, что и требовалось доказать.
Видео Как доказать постоянство суммы расстояний от внутренней точки правильного тетраэдра до его граней? канала Математический Мирок
Показать
Комментарии отсутствуют
Информация о видео
Другие видео канала
Как найти предел последовательности, n-й член которой (∀n≥3) равен полусумме двух предыдущих?Задача об окружности, описанной около четырёхугольникаЗадача о ящиках с апельсинами и яблоками, у которых поменяли таблички с названиями фруктовWatch the uncensored moment Will Smith smacks Chris Rock on stage at the Oscars, drops F-bombStars react to the Will Smith slapping Chris RockRichard & Susanna React To Will Smith's Oscars Outburst After He Hit Chris Rock Due To Wife Joke|GMBBe Alive (Original Song from the Motion Picture "King Richard") (94th Academy Awards Performance)Denzel Washington affirms support for Will Smith despite being nominated for the same award | EtalkJohn Leguizamo Says Oscars Was TARNISHED With Will Smith and Chris Rock MomentThe Harsh Truth About the GOAT Debate2022 Academy Awards: Will Smith Hits Chris Rock, Historic Wins, Best Performances & More | THR NewsVolcanose #shortsTeddy Bear Song + More Nursery Rhymes & Kids Songs - CoComelonFizzy the Pet Vet Helps Disney Pixar Turning Red Mei with Jelly BellyBath Song + More Nursery Rhymes & Kids Songs - CoComelon