Геометрия 10 класс (Урок№15 - Пирамида.)

Геометрия 10 класс
Урок№15 - Пирамида.

Слово «пирамида» мы используем с самого детства. Например, всем знакома детская пирамидка и великие египетские пирамиды, и даже чай есть в форме пирамиды. С точки зрения геометрии моделью всех этих объектов является пирамида. Так что же такое пирамида с точки зрения математики?

мы узнаем:
что такое пирамида;
элементы пирамиды;
виды пирамид;
свойства пирамид;
мы научимся:
отличать пирамиды от других многогранников;
выделять элементы пирамиды;
приводить примеры реальных объектов, моделями которых являются пирамиды;
мы сможем:
решать базовые задачи по теме с использованием свойств и теорем о пирамидах.

На этом уроке мы ввели понятие пирамиды. Пирамидой будем называть многогранник, составленный из n-угольника и n треугольников, при этом n-угольник называется основанием пирамиды, а треугольники – боковыми гранями. Высотой пирамиды будем называть перпендикуляр, проведенный из вершины пирамиды к плоскости основания. Высота может лежать как внутри пирамиды, так вне ее, в боковой грани или являться ребром.
Название пирамиды зависит от многоугольника, лежащего в основании. Например, пирамида, в основании которой лежит четырехугольник, называется четырехугольной.
Среди пирамид выделяют правильные пирамиды, прямоугольные и усеченные пирамиды.
Также на уроке мы доказали некоторые свойства пирамид, и вывели формулу для вычисления площади боковой поверхности правильной пирамиды.

Пирамиды – одна из загадок человечества. По всему миру было возведено множество пирамид: пирамиды были найдены в Египте, Индии, Мексике и в других странах.
В основном эти постройки выполняли роль храма или усыпальницы. Но почему они имеют именно такую форму? На этот счет ведется много споров, по некоторым из предположений, пирамида – простое в строительстве сооружение, которое отличается от обычных домов, имеющих форму прямоугольного параллелепипеда. Другие утверждают, что пирамида символизирует устремление к солнцу и свету.
Одни из наиболее известных и величественных – пирамиды в Египте.
Размеры пирамиды Хеопса удивляют даже современного человека. Ее основание занимает огромную площадь в 53 тыс. квадратных метров, что соразмерно десяти футбольным полям. Не менее поражают и другие параметры: длина основания – 230 м, длина бокового ребра – столько же, а площадь боковой поверхности – 85,5 тыс. квадратных метров.
Сейчас высота пирамиды Хеопса равна 138 метрам, однако изначально она достигала 147 метров, что можно сравнить с пятидесятиэтажным небоскребом.
На строительство пирамиды пошло около 2 300 000 каменных блоков, объемом свыше 1 м3 каждый.
В настоящее время, чтобы перевезти все камни, из которых сложена пирамида Хеопса понадобится 20 тысяч товарных поездов по 30 вагонов в каждом!
Для площади боковой поверхности усеченной пирамиды верна следующая теорема.

Теорема
Площадь боковой поверхности правильной усеченной пирамиды равна произведению полусуммы периметров оснований на апофему.
Доказательство
Площадь боковой поверхности – сумма площадей боковых граней, то есть сумма площадей трапеций. Площадь трапеции вычисляется как произведение полусуммы оснований на высоту. Поскольку трапеции равны, то и длину апофемы d можно вынести за скобки. В скобках останется сумма длин сторон верхнего и нижнего оснований. То есть периметры верхнего и нижнего оснований.
Что и требовалось доказать.

Видео Геометрия 10 класс (Урок№15 - Пирамида.) канала LiameloN School