Wie wende ich die Vektorprojektion an? Beispiel zu Projektion eines Vektors

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Ein Vektorraum oder linearer Raum ist eine algebraische Struktur, die in vielen Teilgebieten der Mathematik verwendet wird. Vektorräume bilden den zentralen Untersuchungsgegenstand der linearen Algebra. Die Elemente eines Vektorraumes heißen Vektoren. Sie können addiert oder mit Skalaren (Zahlen) multipliziert werden, das Ergebnis ist wieder ein Vektor desselben Vektorraumes. Entstanden ist der Begriff, indem diese Eigenschaften ausgehend von Vektoren des euklidischen Raumes abstrahiert wurden, sodass sie dann auf abstraktere Objekte wie Funktionen oder Matrizen übertragbar sind.

Komponentendarstellung
Das numerische Rechnen mit Vektoren ist anschaulicher, wenn sie in ein Koordinatensystem eingebunden sind. Bewährt hat sich das räumliche kartesische Koordinatensystem, wo die drei Koordinatenachsen x, y und z jeweils paarweise zueinander rechte Winkel bilden. Liegen die zu berechnenden Vektoren in einer Ebene, so entfällt die z-Achse und man nutzt das ebene rechtwinklige xy-Achsensystem.

Räumlicher Vektor (3D)
Wenn wir uns nicht nur in der Länge und Breite, sondern auch in der Höhe bewegen können, brauchen wir noch eine dritte Angabe um die Richtung zu bestimmen. Diese wird dann zum Beispiel in ein x-y-z-Koordinatensystem eingetragen.

Skalar:
Es handelt sich um eine ungerichtete Größe, die durch eine reelle Zahl und Maßeinheit eindeutig beschrieben ist.
Freier Vektor – Richtungsvektor:
Er ist nicht an den Koordinatennullpunkt gebunden und wird auch als ungebundener Vektor bezeichnet. Er ist definiert durch seinen Betrag und seine Richtung und kann unter Beibehaltung dieser Eigenschaften parallel zu sich selbst verschoben werden. Richtungsvektoren können auch mit einem Skalar multipliziert werden. Er verbindet zwei Punkte im Raum oder der Ebene miteinander und ist die kürzeste Verbindung zwischen zwei Ortsvektoren.
Gebundener Vektor:
Es ist ein durch seinen Anfangs- und Endpunkt festgelegter Vektor. Ohne Änderung seiner Anfangsbedingungen kann er nicht parallel verschoben werden. Von einem festen Punkt ausgehend ist er dann durch seinen Betrag und seine Richtung eindeutig definiert.
Ortsvektor:
Es ist ein an den Koordinatennullpunkt gebundener und zu einem definierten Endpunkt gerichtet verlaufender Vektor. Er kann nicht parallel verschoben und nicht mit einem Skalar multipliziert werden.
Nullvektor:
Es ist ein Vektor der Länge 0 mit unbestimmter Richtung.
Parallele Vektoren müssen nur in ihrer Richtung übereinstimmen. Antiparallele Vektoren haben einen mit 180° entgegengesetzten Richtungssinn. Parallele und antiparallele Vektoren sind kollineare Vektoren, da man sie durch Parallelverschiebung immer auf eine gemeinsame Linie legen kann.
Einen Vektor mit gleichem Betrag (und Maßzahl) und entgegengesetzter Richtung nennt man inversen oder Gegenvektor. Er ist zu sich selbst der antiparallele Vektor. Seine Komponenten unterscheiden sich durch das Vorzeichen. Die Addition von Vektor und Gegenvektor ergibt einen Nullvektor. Anfangs- und Endpunkte sind identisch, sein Betrag ist 0 und er hat keinen Richtungssinn.

Beispiele für Vektoren: Kraftvektor, Geschwindigkeitsvektor, Ortsvektor, Momentenvektor, Beschleunigungsvektor...
Zwei Vektoren sind genau dann gleich, wenn sie in Betrag, Richtung und Richtungssinn übereinstimmen.
Zeilenvektor, Spaltenvektor

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