Математический анализ. Лекция 2.7 // Станислав Шапошников

Лекции в НМУ, 2017-2018 гг.
Шапошников Станислав Валерьевич — доктор физико-математических наук.

Программа первого семестра:
1) Множества. Функции. Отношения порядка и эквивалентности. Вполне упорядоченные множества. Индукция. Аксиома выбора.
2) Вещественные числа. Принципы полноты и их эквивалентность. Комплексные числа. Кватернионы.
3) Предел последовательности и сумма ряда. Теоремы Больцано и Вейерштрасса. Критерий Коши.
4) Вещественные числа пополнение рациональных. P-адические числа.
5) Топология вещественной прямой. Структура открытых и замкнутых множеств на прямой. Теорема Бэра.
6) Компакты. Лемма Гейне-Бореля-Лебега. Теорема Больцано-Вейерштрасса. Множество Кантора.
7) Предел функции и непрерывность функции в точке. Локальные и глобальные свойства непрерывных функций.
8) Соображения непрерывности. Фундаментальная группа окружности и ее приложения.
9) Поточечный и равномерный пределы последовательности функций. Теорема Вейерштрасса о приближении непрерывных функций полиномами.
10) Дифференцируемость и производная. Пример Вейерштрасса нигде не дифференцируемой функции.
11) Формула Тейлора. Сходимость и свойства степенных рядов. Аналитические функции.

Программа второго семестра:
1) Первообразная. Теорема Лиувилля об интегрируемости в элементарных функциях.
2) Мера Лебега. Пример Витали неизмеримого множества. Парадокс Банаха-Тарского.
3) Интеграл Римана и интеграл Лебега.
4) Топологические, метрические пространства и нормированные пространства. Последовательности и направленности. Неметризуемость поточечной сходимости.
5) Полные метрические пространства. Теорема о вложенных шарах и теорема Бэра. Теорема о сжимающем отображении.
6) Компакты. Конечномерность и компактность шара. Непрерывные отображения. Лемма Шпернера. Теорема Брауэра. Теорема Шаудера о неподвижной точке.
7) Критерий компактности Хаусдорфа. Размерность Хаусдорфа. Фракталы. Множества Кантора и Серпинского. Теорема Менгера-Небелинга-Понтрягина.
8) Существуют ли функции нескольких переменных? Теорема Колмогорова-Арнольда и 13-я проблема Гильберта.
9) Непрерывные линейные операторы. Дифференцирование. Производные Гато, Адамара и Фреше. Частные производные. Матрица Якоби.
10) Теорема о неявных функциях. Гладкие поверхности. Касательное пространство. Лемма Морса. Разложение диффеоморфизма в композицию простейших.

Видео Математический анализ. Лекция 2.7 // Станислав Шапошников канала ∀ x, y, z channel