Алгебра 10 класс (Урок№8 - Сравнения.)

Алгебра 10 класс (Урок№8 - Сравнения.) Посмотрите внимательно на запись: a ≡ b (mod m). Как вы думаете, что означает запись? Цель: получить знания о сравнениях и их свойствах. Задачи: изучить понятие сравнения двух чисел; разобрать понятие сравнение по модулю; рассмотреть основные свойства сравнений. мы узнаем: что такое сравнения и их основные свойства; мы научимся: применять свойства сравнений при решении задач; мы сможем: объяснять действия со сравнениями. Определение. Если а и b — два целых числа и их разность а — b делится на натуральное число m, то говорят, что a и b сравнимы по модулю m. Свойства сравнений: a≡b(modm),b≡c(modm),⇒a≡c(modm) a≡b(modm)⇔b≡a(modm) a1≡b1(modm),a2≡b2(modm),…,ak≡bk(modm)⇒a1+…+ak≡b1+…bk(modm) a+b≡c(modm)⇒a≡c–b(modm) a≡b(modm)⇒a+mt≡b+mk(modm)(t,k∈Z) a≡b(modm),c≡d(modm)⇒ac≡bd(modm) a≡b(modm)⇒ak≡bk(modm) a≡b(modm)⇒ak≡bk(modm) Еслиa≡b(modm),(a,b)=c,(c,m)=1⇒aa,b≡ba,b(modm) a≡b(modm)⇒ak≡bk(modmk) a≡b(modm),a=a1b,b=b1d,m=m1d⇒a1≡b1(modm1) a≡b(modm1),a≡b(modm2),…,a≡b(modmk)⇒a≡b(modНОК(m1,…,mk)) a≡b(modm),d/m⇒a≡b(modd) d/a,d/m,a≡b(modm)⇒d/b a≡b(modm)⇒(a,m)=(b,m) Теорема обратимости: обратный элемент для числа существует тогда и только тогда, когда это число взаимно простое с модулем. Теорема 1. Если НОД (a,m) = 1, то сравнение ax ≡ b(mod m) имеет единственное решение. Теорема 2. Если (a,m) = d ﹥ 1 и число b не делится на d, то сравнение ax ≡ b(mod m) не имеет решений. Теорема 3. Если (a,m) = d ﹥ 1 и b : d, то сравнение ax ≡ b(mod m) имеет d решений. Сравнения Найдите все пары чисел х и у, удовлетворяющих уравнению 7х - 23у = 131. Решение: поскольку 23 ≡ 2 (mod 7), получаем сравнение 2у ≡ 7x - 131(mod 7) или 2y ≡ -131(mod7) или 2y ≡ 140 - 131(mod7) или 2у ≡ 9 ≡ 2 (mod 7), т.е y ≡ 1 (mod 7). Итак, у = 7k + 1, подставляя это выражение в изначальное уравнение, получаем: 7х + 23(7k + 1) = 131 7х = 154 + 23 ∙ 7k х = 22 + 23k Ответ: (22 + 23k; 7k + 1)

Видео Алгебра 10 класс (Урок№8 - Сравнения.) автора Liamelon School