Mathématiques ,1 ère Bac SM ,Les suites numériques ,exercice difficile , المتتاليات العددية

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تحياتي لكم . الأستاذ رمزاوي عمر
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Définition et modes de génération d'une suite numérique.
Une suite numérique est une fonction définie sur l'ensemble N des entiers naturels. Pour générer une suite numérique on rencontre deux types principaux :
- Suite numérique définie par l'expression du terme général un en fonction de n.
Exemple : un= 3n +10 ce qui donne comme termes de la suite numérique pour n=0 u0= 3x0 +10 =10, pour n=1 u1= 3x1 +10 = 13, u2= 3x2 +10 =16 et ainsi de suite.
- Suite numérique par une relation de récurrence.
Exemple : u(n+1) = 2u(n) +5 avec le premier terme connu u0 =10, ce qui donne u1=2u0 +5 =2x10+5=25, u2=2xu1 +5 = 2x25 +5 =55 et ainsi de suite.
Suite algébrique.
Pour une suite arithmétique, chaque terme s'obtient en ajoutant au précédent un nombre réel constant r appelé raison de la suite arithmétique.
Ce qui se traduit par : pour tout entier naturel n : un+1 = un+ r avec u0 fixé.
Exemple un+1 = un+ 3 et u0 =5 , donc u1 =u0 +3 =5+3 =8, u2= u1 +3 =8+3 =11 ....
Pour faciliter les calculs on démontre que un=u0+nr dans notre exemple si je vous demande de calculer u100
On a u100= u0 + 100r ici r= 3 raison de la suite arithmétique, u100= 5 +100x3 =305.
Dans la fiche ci dessous on s'interesse aussi à la somme des termes d'une suite arithmétique,
par exemple si je vous demande combien vaut S= u0 + u1 +u2 +u3 +... +u10
le premier terme de la suite arithmétique est u0 =5 le dernier terme de la suite arithmétique est u10 = u0 +10x3 =5 + 30 = 35
le nombre de terme de la suite arithmétique est 11 (de u0 à u10 il y a 11 termes)
ce qui donne S = ((1er terme + dernier terme)xnb de termes)/2 = ((5+35)x11)/2 =220

Suite géométrique.
Pour faciliter les calculs on démontre que un=u0xq(puissance n) dans notre exemple si je vous demande de calculer u10
On a u10= u0xq(puissance n) ici q= 4 raison de la suite géométrique, u10= 3x4(puissance10) =3145728.
Dans la fiche ci dessous on s'interesse aussi à la somme des termes d'une suite géométrique
par exemple si je vous demande combien vaut S= u0 + u1 +u2 +u3 + u4 + u5
le premier terme de la suite géométrique est u0 =3 le dernier terme de la suite géométrique est u5 = u0x(4puissance5) =3x1024 = 3072
ce qui donne S = (1er terme - (dernier terme)xraison)/(1 -raison) = (3 -3072x4)/(1-4)=4095

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