Г.А. Колюцкий "Предельные циклы"

Лекции и семинары Научно-образовательного центра Математического института им. В.А. Стеклова Российской академии наук.
Г.А. Колюцкий "Предельные циклы"
Москва, МИАН, осень 2016 г.
Все лекции курса: http://www.mathnet.ru/conf942.

Понятие предельных циклов ввел Пуанкаре, создавая качественную теорию дифференциальных уравнений. Он занимался задачей n тел, не решенной до сих пор. Уже тогда, в конце XIX века, становилось понятно, что обычно найти решение дифференциального уравнения в явном виде нельзя. Основная идея Пуанкаре состояла в том, чтобы исследовать свойства решений, не находя их. Прежде всего его интересовала асимптотика решений, т.е. их поведение при больших временах.
Одной из самых известных задач в этой области, мотивировавшей многочисленные исследования в течение уже более чем века, является 16-я проблема Гильберта, а точнее вторая ее часть. В ней требуется найти верхние оценки на число предельных циклов полиномиальных векторных полей на плоскости. 16-я проблема не решена до сих пор, даже в случае квадратичных векторных полей.
В этом курсе мы пройдем путь от классических теорем Пуанкаре, Андронова и Понтрягина до самых свежих результатов и открытых задач.

Программа курса
1. Введение. Векторные поля и поля направлений на плоскости и на сфере. Особые точки, предельные циклы и полициклы
2. Теория Пуанкаре–Бендиксона
3. Теорема Андронова–Понтрягина
4. Уравнение Ван Дер Поля
5. Квадратичные векторные поля
6. 16-я проблема Гильберта: исторический обзор. Теорема конечности Ильяшенко и Экаля. Стратегия Руссари
7. Теорема о нулях и росте голоморфных функций
8. Проблема Гильберта-Смейла. Уравнения Льенара
9. Примеры локальных и нелокальных бифуркаций с рождением предельных циклов
10. ∗О-минимальная геометрия. Теорема Габриэлова
Для понимания курса заведомо достаточно знакомства со стандартными курсами ОДУ и ТФКП. Если вы не знакомы с дифференциальными уравнениями, то этот курс можно воспринимать как вводный, но многие недостающие знания придется восстанавливать по книге [Ar] в сентябре. Без знания ТФКП можно понять курс в целом (по модулю нескольких лекций во второй половине курса).
Список литературы
[Ar] В. И. Арнольд, Обыкновенные дифференциальные уравнения, Москва: Наука, 1971.
[An] Д. В. Аносов, Дифференциальные уравнения: то решаем, то рисуем, Москва: МЦНМО, 2008.
[IYa] Yu. S. Ilyashenko, S. Yakovenko, Lectures on Analytic Differential Equations, Graduate Studies in Mathematics, vol. 86, Amer. Math. Soc., Providence, RI, 2007.

Видео Г.А. Колюцкий "Предельные циклы" канала МЦМУ МИАН