ИнтФНП Решение 1.4 Двойной интеграл: Полярная система координат

Интеграл функции нескольких переменных и теория поля
Решение задач 1.4 Двойной интеграл: Полярная система координат

Внимание! Допущена существенная ошибка:
1:43 и затем 2:55 – в п. 3) запись dxdy = |J|dudv ошибочна. Равенства быть не может! Равны интегралы целиком, но не их отдельные кусочки.
Дело в том, что элементарный участок dw в ДПСК получен разбиением области на элементарные прямоугольники, чья площадь вычисляется как dxdy. В криволинейной же системе координат область дробится на элементарные участки dw' другой формы и размера, чья площадь не равна площади dxdy. Эту площадь можно найти, умножив площадь элементарного участка dudv в распрямлённой криволинейной системе координат на поправочный коэффициент – модуль якобиана |J|. Таким образом мы имеем два интеграла, построенных по-разному из разных элементарных участков, но совпадающих численно. Таким образом, элементарные участки dxdy и |J|dudv не равны, но равны интегралы, собранные из них. А п. 3) должен звучать так: "Выразить площадь элементарного участка dw' в криволинейной СК через площадь элементарного прямоугольника dudv в распрямлённой криволинейной СК".

Тайминг:
0:16 Общая схема вычисления двойного интеграла в другой (криволинейной) системе координат
2:15 Схема перехода в полярную систему координат
3:02 Якобиан при переходе из декартовой прямоугольной в полярную систему координат
3:46 Пример 1: условие и решение
6:10 Пример 2: условие
6:35 Пример 2: решение 1-м способом
7:48 Пример 2: решение 2-м способом
9:52 Пример 3: условие
10:27 Пример 3: решение

Рекомендуемые задачники:
- Берман Г.Н. Сборник задач по курсу математического анализа
- Минорский В.П. Сборник задач по высшей математике
- Демидович Б.П. Сборник задач и упражнений по математическому анализу
- Кудрявцев Л.Д. и др. Сборник задач по математическому анализу Том 3

Задачи разбирает: Константин Правдин
канд. техн. наук, доцент Университета ИТМО
https://vk.com/construeman

Видео ИнтФНП Решение 1.4 Двойной интеграл: Полярная система координат канала Плюс ЦЭ