¿Qué es la Geometría Algebraica? (Laura Hidalgo Solís)

¿Qué es la Geometría Algebraica?

Plática dada por Laura Hidalgo Solís (Universidad Autónoma Metropolitana, Iztapalapa, laurahidalgosolis@yahoo.com.mx) en el 50º Congreso Nacional de la Sociedad Matemática Mexicana el lunes 23 de septiembre de 2017 en el Salón de Seminarios 2 del Instituto de Matemáticas de la UNAM

Video de la plática
https://youtu.be/ihq5P7aCZ3I

Conferencia invitada de Miscelánea Matemática en geometría algebraica

Resumen
La geometría algebraica clásica se ocupa de problemas planteables en términos de figuras asociadas a ecuaciones polinómicas. Los primeros ejemplos que tenemos son los puntos, las rectas, los planos, las cónicas, y las superficies cuadráticas en el espacio.

El caso de los polinomios lineales es particularmente sencilla su geometría. Son objetos perfectamente homogéneos, es imposible distinguir intrínsecamente unos puntos de otros. Pero, si consideramos ecuaciones de segundo grado aparecen nuevos fenómenos, por ejemplo, la superficie asociada a la ecuación x2 + y2 + z2 = 1 es una esfera, nuevamente un espacio que es homogéneo, no podemos distinguir unos puntos de otros.
Pero si consideramos la superficie asociada al polinomio x2 + y2 - z2 = 0 obtenemos un cono cuya base es una circunferencia.

El cono tiene un punto que se distingue de todos los demás, el vértice de coordenadas x = y = z = 0 es lo que llamamos un punto singular.

La aparición de los puntos singulares aludidos anteriormente es uno de los ingredientes que motivan la introducción de métodos específicos y que justifican el apellido “algebraica”, y es quizá una de las principales causas por la que la geometría algebraica llega a constituirse en una especialidad con nombre propio, interaccionando a continuación de forma intensa con el resto de las matemáticas.

Una peculiaridad del ejemplo anterior es que de un objeto algebraico, a saber un polinomio, obtenemos un objeto geométrico asociado, el cono. Al determinar si hay puntos especiales en el cono utilizamos herramientas analíticas, presentándose la trilogía (ver imagen https://photos.app.goo.gl/cMisK96XYWN86ins2)

Y podemos plantearnos ¿Qué sucede si el grado del polinomio homogéneo aumenta? ¿Qué sucede si intersecamos o unimos dos, o más, de estos conjuntos? ¿Qué propiedades generales se satisfacen? ¿Cómo se clasifican?

En la presente plática presentaremos algunos ejemplos en que se responda, al menos parcialmente, a dichas preguntas.

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