#30. Как найти расстояние от точки до плоскости?

Учимся искать и вычислять расстояние от точки до плоскости (без метода объемов и метода координат). №14 ЕГЭ по математике

ЗАДАЧНИК КО ВСЕМ РОЛИКАМ: https://vk.com/topic-135395111_35874038
МОИ КУРСЫ: https://vk.com/market-135395111
УСКОРИТЬ ПРОЦЕСС СОЗДАНИЯ НОВОГО ВИДЕО: http://www.donationalerts.ru/r/wildmathing
VK: https://vk.com/wildmathing

Новая задачка продолжает тему расстояний. Кто испытывает трудности с построением сечений: наши ранние видео под «египетскими» номерами 3, 4 и 5 — в помощь!

Условие. На ребрах CD и BB1 куба ABCDA1B1C1D1 с ребром 12 отмечены точки P и Q соответственно, причем DP=4, а B1Q=3. Плоскость APQ пересекает ребро CC1 в точке M.
а) Докажите, что точка M является серединой ребра CC1.
б) Найдите расстояние от точки C до плоскости APQ.

0:00 — Вступление и условие
0:35 — а) Доказательство
1:48 — б) Вычисление

БОЛЬШЕ КРУТОЙ СТЕРЕОМЕТРИИ:
1. GeoGebra: https://youtu.be/uKrh8d0Er2g
2. Геймификация: https://youtu.be/daVzS9RUPk8
3. Самая трудная задача на ютубе: https://youtu.be/qu93enoN6tQ

В комментариях к этому ролику задали вопрос о том, как формально доказать подобие треугольников MCP и BQA. Ответ настолько длинный, что было бы полезно зафиксировать его и здесь.

1-ый способ. ∠MCP=∠QBA=90°. CP||BA, MP||QA ⇒ ∠CPM=∠BAQ. Значит, △MPC~△QAB, ч.т.д.

В этом способе мы используем признак подобия по двум углам, притом параллельность прямых MO и QA объясняется ровно так, как и ты ее осознал — через теорему о пересечении двух параллельных плоскостей третьей, формально здесь ее можно записать так: ((ABB₁)||(CDD₁), (SQA)⋂(ABB₁)=MP, (SQA)⋂(CDD₁)=QA) ⇒ MP||QA. Мы также используем простой факт: параллельный перенос прямых не изменяет углы, то есть по сути угол CPM совмещается с углом BAQ посредством параллельного переноса, но подробно об этом можно не говорить: главное указать параллельность соответствующих прямых.

2-ой способ. Плоскости ABB₁ и CDD₁ пересекают лучи SQ, SB и SA в точках Q, B, A и M, C, P соответственно. Значит, △QBA получен из △MCP гомотетией с центром S. Стало быть, △MPC~△QAB, ч.т.д.

Суть этого краткого доказательства прояснится, если разобраться в третьем способе, когда мы просто отдельно поработаем с плоскостями и соответствующими треугольниками.

3-ий способ. ∠MCP=∠QBA=90°. А далее через подобие △SCM~△SBQ и △SCP~△SBA мы приходим к тому, что MC:CP=QB:BA, из чего следует △MPC~△QAB, ч.т.д.

Но это уже совсем окольный путь, притом по сути цель пункта а) будет достигнута прежде, чем мы придем к интересующему подобию. Эту же идею можно совсем усугубить и вовсе объяснить пропорциональность вообще всех трех сторон для треугольников MPC и QAB, оперируя плоскими углами, но это справедливости ради отмечаю, практической пользы в этом нет.

То есть, если подытожить, есть четкие признаки подобия треугольников, и для формального доказательства стоит оперировать именно ими,

Видео #30. Как найти расстояние от точки до плоскости? канала Wild Mathing