Илья Грузберг "Фракталы, мультифракталы и..." Лекция #2

Мини-курс лекций "Фракталы, мультифракталы и стохастическая геометрия в современной физике"
Лекция #2

Илья Грузберг (Ilya A. Gruzberg) Ph.D., Prof.
Department of Physics, University of Chicago
http://gruzberg.uchicago.edu/

15 марта 2012 г.
Место проведения:
Пермский государственный национальный исследовательский университет
http://www.psu.ru

Краткая аннотация курса:
--------------------------------------
Понятия фракталов и мультифракталов были введены и популяризированы Бенуа Мандельбротом. Он ввел их для описания объектов и закономерностей, которые не укладывались в рамки обычной геометрии и анализа. Эти понятия оказались чрезвычайно популярны благодаря их красоте и широкой применимости при описании объектов, которые обладают свойствами самоподобия, когда весь объект состоит из частей, которые подобны всему объекту (напоминают его). Со временем выяснилось, что попытка строго определить эти понятия чрезмерно сужает их область применимости, особенно в естественных науках. Поэтому понятия фрактальной геометрии обычно формулируются нестрого, особенно когда речь идет о физических объектах. Однако наиболее полно развить теорию можно лишь формулируя строгие определения. Поэтому разные применения идей фрактальной геометрии развиты в разной мере.

Особенно плодотворны эти идеи оказываются, когда они применяются к случайным фракталам. Тогда можно характеризовать разные фракталы не только геометрически, но и вероятностно, то есть изучать вероятности тех или иных событий, свяазанных с фракталами. В современной физике такая ситуация возникает, например, в неравновесных процессах роста фрактальных кластеров и вблизи фазовых переходов второго рода, сопровождающихся так называемыми критическими явлениями. Теория становится особенно богатой в двух измерениях, где для описания формы фрактальных кластеров можно использовать теорию аналитических функций и конформные отображения. Красивейшая теория конформно-инвариантных двумерных фракталов была создана 12 лет назад математиком Одедом Шраммом. С тех пор за развитие теории так называемых "эволюций Шрамма-Левнера" (Schramm-Loewner evolutions, or SLE) были присуждены две Филдсовские медали (высшая математическая награда). Эта теория дает вероятностное и геометрическое описание двумерных фазовых переходов, которое является математически строгой версией физической конформной теории поля. Теория SLE, находящаяся на стыке комплексного анализа, теории вероятностей и статистической физики, находится на переднем крае науки и активно развивается.

Видео Илья Грузберг "Фракталы, мультифракталы и..." Лекция #2 канала Denis Goldobin