マンデルブロ集合のファイゲンバウム点（Feigenbaum Point）における自己相似性

マンデルブロ集合において実数上に中心をもつ右（正の方）からn番目の円板をC[n]とする．
ただし，C[1]を半径1/4中心-1の円板，C[0]をc=(1-(exp(i*t)-1)^2)/4を境界とするカージオイドとする．
このとき，点c∈C[n]に対して，次のように定める複素数列z[k]の周期は2^nとなる．
z[n+1] = z[n]^2+c
z[0] = 0
z[k]の周期が2^(n-1)から2^nに変わる点，すなわちC[n]の右端をb[n]とすると，b[n]は次のような値に収束する．
lim[n→∞]b[n] = -1.4011551890920506005238267878938612922...
この点はファイゲンバウム点（Feigenbaum Point）とよばれる．
また，C[n]の直径比，すなわち(b[n-1]-b[n-2])/(b[n]-b[n-1])は次のような値に収束する．
lim[n→∞](b[n-1]-b[n-2])/(b[n]-b[n-1]) = δ = 4.669201609102990671853203820466...
この値δは第1ファイゲンバウム定数（1st Feigenbaum Constant）である．

図では左端をファイゲンバウム点に固定してマンデルブロ集合を拡大している．
縦方向の幅は動画時間t（秒）に対してδ^(-6-t/2)であり，動画の開始時点と終了時点はほとんど見た目に違いがない．

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