Exercice Bac S • suites • limite • récurrence • géométrique • logarithme • Nouvelle Calédonie 2019

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Soit (u_n) la suite définie par u_0=1 et pour tout entier naturel n par Un+1=Un/(Un+8).

1) Montrer par récurrence que pour tout entier naturel n, Un est strictement positif.

2) Étudier les variations de la suite (Un).

3) La suite (u_n) est-elle convergente ? Justifier.

4) Pour tout entier naturel n, on pose Vn=1+ 7/Un.

a) Montrer que (Vn) est géométrique et préciser la raison et v_0.

b) Exprimer pour tout entier naturel n, u_n en fonction de n.

c) En déduire la limite de la suite (u_n).

d) Déterminer, après avoir justifié son existence, le plus petit entier naturel n_0 tel que, pour tout entier naturel
n supérieur ou égal à n_0 , u_n est plus petit que 10{-18}.
Objectifs :

- Démontrer par récurrence
- Étudier les variations d'une suite
- Montrer qu'une suite est convergente
- Montrer qu'une suite est géométrique
- Déterminer un seuil à l'aide de la fonction logarithme népérien
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