La cicloide: de la braquistocrona al péndulo de Huygens, por el Prof.Antonio López Almorox

Esta charla forma parte de las actividades del Bachillerato de Excelencia del IES de La Vaguada en colaboración con el Departamento de Matemáticas de la Universidad de Salamanca (2014).

Resumen: La cicloide es la trayectoria que sigue un punto de una circunferencia cuando esta rueda a lo largo de una línea recta. Desde el siglo XVII sus curiosas propiedades geométricas (como la relación entre el área encerrada por uno de sus bucles y el área del círculo de la circunferencia que la genera o la relación entre la longitud de esta curva con el diámetro de la circunferencia generadora) han atraído la atención de matemáticos desde el siglo XVI y actualmente se demuestran con técnicas elementales del Cálculo o de la Geometría Riemanniana.
Sin embargo, la cicloide entra a formar parte en la historia de las Matemáticas como solución del problema de la braquistocrona (curva que une dos puntos a distinta altura con la propiedad de que un objeto que se desliza sobre dicha curva tarde el menor tiempo posible en ir desde el punto superior al inferior bajo la acción de la gravedad) problema y reto matemático planteado por Johann Bernouilli en el siglo XVII que daría origen al Cálculo de Variaciones.
Algunas de sus aplicaciones prácticas se basan en otra de sus singularidades, la llamada propiedad isócrona (las oscilaciones de una masa que se desliza sobre ella tienen el mismo periodo independientemente del punto inicial desde donde parte la oscilación) descubierta por el astrónomo y relojero Christian Huygens dando lugar a la construcción del primer reloj de péndulo isócrono utilizando el hecho matemático que la envolvente de las normales de la cicloide es otra cicloide.
Actualmente esta curva se usa en el diseño de engranajes y de toboganes aeronáuticos, mecanismos de relojería, incluso en el perfil de las rampas de skate.
Se propone un seminario donde se muestren estas curiosidades geométricas y físicas de la cicloide haciendo uso de programas gráficos 2D y basándonos solo en los conocimientos muy elementales de Análisis Matemático y Mecánica de los alumnos de 1º de Bachillerato. Servirá también para darles una ligera visión de los problemas que se pueden estudiar con el Cálculo de Variaciones (línea de investigación del Departamento).
Como complemento a este seminario, se plantea un taller posterior sobre construcciones geométricas de algunas curvas planas (menos conocidas por los alumnos y llamativas representaciones gráficas) y sus aplicaciones a ciertos problemas físicos (parábola de seguridad, zona de audibilidad aviones, caústicas, etc. relacionados con el estudio de envolventes de familias de curvas planas).

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