Найти ВСЕ РАЗЛОЖЕНИЯ функции в Ряд Лорана по степеням z и для них установить области сходимости.

#разложение #ряд #лорана

Будем предполагать, что функция является аналитической всюду в комплексной плоскости, за исключением некоторого конечного множества особых точек. Каждая такая точка имеет окрестность, в которой нет других особых точек, т.е. все эти точки являются изолированными особыми точками.
Через каждую изолированную особую точку функции проведем окружность с центром в заданной точке z0. Система этих концентрических окружностей разделит комплексную плоскость на конечное число концентрических колец, в каждом из которых рассматриваемая функция f(z) аналитична. Стало быть, в каждом из этих колец, согласно теореме Лорана, функцию можно представить рядом Лорана. Отметим, что ряды Лорана функции f(z) в разных кольцах не могут совпадать. Действительно, область сходимости ряда Лорана есть кольцо, быть может дополненное частью его границы. Между двумя концентрическими кольцами, на которые разделена комплексная плоскость, имеются особые точки функции. Если бы ряды Лорана для двух колец совпадали, то это означало бы, что один и тот же ряд сходится в обоих кольцах, а значит, и в более широком кольце, охватывающем оба исходных кольца. Такое возможно лишь в случае, когда функция не имеет особых точек между двумя рассматриваемыми кольцами, что противоречит их построению. Таким образом, одна и та же функция имеет несколько разложений Лорана, в каждом из концентрических колец — свое разложение в ряд Лорана.
Чтобы найти все разложения Лорана данной функции, рекомендуется выполнить следующие этапы.
1. Найти все особые точки функции f(z).
2. Отметить на комплексной плоскости центр разложения z0 и найденные особые точки.
3. Провести окружности с центром в точке через все особые точки. При этом может случиться, что несколько особых точек будут расположены на одной окружности. Проведенные окружности разделят всю плоскость на области аналитичности функции f(z). Может получиться круг (если точка z0 не является для особой) и концентрические кольца, внутри которых нет особых точек функции f(z).
4. В каждой из полученных областей аналитичности функцию f(z) можно разложить в ряд Тейлора (для самой внутренней области в случае, когда не является особой точкой) или в ряд Лорана.
5. Коэффициенты разложений в областях аналитичности проще находить с помощью стандартных разложений.

Видео Найти ВСЕ РАЗЛОЖЕНИЯ функции в Ряд Лорана по степеням z и для них установить области сходимости. канала Андрей Вяземский