Неприводимые спиноры высших рангов / Д.Е. Бурланков

Бурланков Дмитрий Евгеньевич, burlankov.de@yandex.ru
к.ф.-м.н., доцент кафедры Информационных технологий в физических исследованиях Физического факультета НHГУ им. Н.И. Лобачевского.
2022.11.01

Текст аннотации с формулами в формате PDF: https://clck.ru/32Zmw7

00:00 Общие вопросы семинара
26:42 Доклад "Неприводимые спиноры высших рангов"
1:39:25 Комментарии
1:54:27 Вопросы и дискуссия

Многочастичные задачи квантовой механики привели к задачам о сложении моментов, разложение произведения спиноров на неприводимые компоненты.

Например, хорошо известно, что произведение двух спиноров со спином 1/2 (число компонент 2 x 2 = 4) образует сумму объектов со спином 0 (скаляр – 1 компонента) и спином 1 (3 компоненты).

Спиноры ранга n определяются матрицами n x n. Набор матриц Паули определяется матрицами повышения и понижения.

Повышающие и понижающие матрицы n-спиноров имеют специфический вид, например, при n = 4
https://clck.ru/32Zmzt

Они порождают три матрицы:
https://clck.ru/32Zn34
коммутационные соотношения которых:
https://clck.ru/32Zn4t

Спиновые матрицы определяют оператор полного момента:
https://clck.ru/32Zn5g
с такими же коммутационными соотношениями.

Спиновый оператор момента количества движения
https://clck.ru/32Zn7p
коммутирует с каждой компонентой {Jxn, Jyn, Jzn}.

В сферической системе координат подвижный репер cin определяет оператор Паули ранга n:
https://clck.ru/32Zn9B

Оператор Jzn является первым оператором, определяющим базис в пространстве n-спиноров. n-спинор представляется n-мерной строкой и как собственный вектор оператора Jzn при малых n имеет вид:
https://clck.ru/32ZnCA

Они являются собственными функциями оператора Ĵzn:
https://clck.ru/32ZnD8

Универсальным методом построения спинорного базиса является поиск спинора с максимальным m = l, действие на который оператором повышения дает нуль.

Базовый n-спинор wjjn удовлетворяет двум операторным уравнениям
https://clck.ru/32ZnE2

Так как оператор Ĵ+n является дифференциальным оператором первого порядка базовый спинор содержит n произвольных констант. Ими можно распорядиться так, чтобы базовый спинор являлся собственным вектором оператора спинового момента Ĵn.

Важнейшим оператором, определяющим структуру спиноров, является оператор спинового отражения Rˆn, квадрат которого является единичным оператором, и он раскладывает любой спинор на четную составляющую (с собственным значением этого оператора +1) и нечетную (с собственным значением -1).

Он антикоммутирует с оператором Паули, поэтому результатом действия оператора Паули на спинор определенной четности является спинор противоположной четности.

Это определяет специфику спинорных уравнений (произвольного ранга): система уравнений должна содержать четное число операторов Паули, как это происходит в ставшем уже стандартным уравнении Дирака для атома водорода.

Разработанная техника приближает решение задачи о квантовом описании атома водорода как связанного состояния двух спинорных частиц конечных масс: протона и электрона.

Институт исследований природы времени:
http://chronos.msu.ru/
Российский междисциплинарный семинар по темпорологии имени А.П. Левича:
http://chronos.msu.ru/ru/seminar
Программа работы семинара в текущем семестре:
http://chronos.msu.ru/ru/seminar/new-program

Видео Неприводимые спиноры высших рангов / Д.Е. Бурланков канала Междисциплинарный семинар по темпорологии