где можно узнать есть ли запрет на выезд за границу ребенку (например если бывший муж пишет такой запрет)
И без запрета не пустят. Пока не сделает доверенность.
Достаточно подать письменный запрос в информационную службу ФСБ. На протяжении 30 дней будет дан ответ на запрос. Есть также возможность проверить запреты на выезд заграницу онлайн, через сайт https://reestrzapreta.ru/ , правда услуга платная.