Может ли бабуля самовольно уйти в дом престарелых, если у нее есть дети и жилая площадь?

Может.

Может. А зачем вам это допускать? Лучше всего подыщите бабуле какой-нибудь хороший пансионат для пожилых, как в Балашихе https://dom-prestarelyh.net/ и платите за ее пребывание там. А бабушка вам квартиру оставит. Я думаю, что этот вариант намного лучше чем она сама уйдет в госучреждение и отдаст им свою жилую площадь.

А у неё есть желание заселиться в дом престарелых?
Просто если это так, то вам конечно же лучше самостоятельно хороший подыскать
Если что, вот https://zolotye-gody-spb.ru/ частный есть хороший пансионат
Вы себе на заметку возьмите, вдруг до дела дойдёт)

Конечно может если она дееспособная.

Тоже считаю, что может. А вы что боитесь что она туда уйдет или наоборот поддерживаете решение? Что-то не понятно. Лучше бы пока она никуда сама не ушла найдите хороший частный пансионат. Вот хотя-бы этот https://pansionat-tulskij-dedushka.ru/reabilitatsiya-pozhilyh-lyudej/insult/. Мы туда дедушку после инсульта оформляли. Очень приятный персонал и достойные условия проживания.